türev kuralları

Türev kuralları ve kanunları.Fonksiyon tablosunun türevleri.

türev tanımı

Bir fonksiyonun türevi, Δx sonsuz küçük olduğunda, x+Δx ve x noktalarındaki f(x) fonksiyon değeri farkının Δx'e oranıdır.Türev, x noktasındaki teğet doğrunun eğimi veya eğimidir.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

İkinci türev

İkinci türev şu şekilde verilir:

Ya da basitçe birinci türevi türetin:

f''(x)=(f'(x))'

N'inci türev

n'inci türev , f(x) n kez türetilerek hesaplanır.

n'inci türev , (n-1) türevinin türevine eşittir:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Örnek:

Dördüncü türevini bulun

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Fonksiyon grafiğinde türev

Bir fonksiyonun türevi, teğet doğrunun eğimidir.

türev kuralları

Türev toplamı kuralı

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Türev ürün kuralı

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Türev bölüm kuralı \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Türev zincir kuralı

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Türev toplamı kuralı

a ve b sabitolduğunda .

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Örnek:

Türevini bulun:

3x2+ 4x . _

Toplam kuralına göre:

bir = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Türev ürün kuralı

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Türev bölüm kuralı

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Türev zincir kuralı

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Bu kural, Lagrange notasyonu ile daha iyi anlaşılabilir:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Fonksiyon doğrusal yaklaşımı

Küçük Δx için, f(x 0 ) ve f ' (x 0 ) bildiğimizde f(x 0 +Δx) 'e bir yaklaşım elde edebiliriz:

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Fonksiyon tablosunun türevleri

Fonksiyon adı İşlev Türev

f (x)

 f '( x )
Devamlı

const

0
Doğrusal

x

1
Güç

x a

a x a-1
üstel

e x

e x
üstel

a x

a x ln a
Doğal logaritma

ln(x)

logaritma

logb(x)

Sinüs

sin x

cos x
Kosinüs

cos x

-sin x
Teğet

tan x

Arksinüs

arcsin x

Arckozin

arccos x

arktanjant

arctan x
hiperbolik sinüs

sinh x

cosh x
hiperbolik kosinüs

cosh x

sinh x
hiperbolik teğet

tanh x

ters hiperbolik sinüs

sinh-1 x

ters hiperbolik kosinüs

cosh-1 x

Ters hiperbolik tanjant

tanh-1 x

Türev örnekleri

Örnek 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Örnek 2

f (x) = sin(3x2)

Zincir kuralını uygularken:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

İkinci türev testi

x 0 noktasında bir fonksiyonun birinci türevi sıfır olduğunda.

f '(x0) = 0

O zaman x 0 , f''(x 0 ) noktasındaki ikinci türev,o noktanın türünü gösterebilir:

 

f ''(x0) > 0

 yerel minimum

f ''(x0) < 0

 yerel maksimum

f ''(x0) = 0

 belirsiz

 

Ayrıca bakınız

Advertising

HESAP
°• CmtoInchesConvert.com •°