Pagbabagong-anyo ng Laplace

Laplace transform function
Laplace transform table
Mga katangian ng pagbabago ng Laplace
Mga halimbawa ng pagbabago ng Laplace

Ang Laplace transform ay nagko-convert ng time domain function sa s-domain function sa pamamagitan ng pagsasama mula zero hanggang infinity

ng function ng domain ng oras, na pinarami ng e ^-st .

Ang Laplace transform ay ginagamit upang mabilis na makahanap ng mga solusyon para sa mga differential equation at integral.

Ang derivation sa time domain ay binago sa multiplikasyon ng s sa s-domain.

Ang pagsasama sa time domain ay binago sa dibisyon ng s sa s-domain.

Laplace transform function

Ang pagbabagong Laplace ay tinukoy sa operator ng L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Baliktad na pagbabago ng Laplace

Maaaring direktang kalkulahin ang inverse Laplace transform.

Karaniwan ang inverse transform ay ibinibigay mula sa transforms table.

Laplace transform table

Pangalan ng function	Pag-andar ng domain ng oras	Pagbabago ng Laplace
Pangalan ng function	f (t)	F(s) = L{f (t)}
pare-pareho	1	$\frac{1}{s}$
Linear	t	$\frac{1}{s^2}$
kapangyarihan	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
kapangyarihan	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sine	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosine	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolic sine	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolic cosine	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Lumalagong sine	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Lumalagong cosine	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Nabubulok na sine	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\kaliwa ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Nabubulok na cosine	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Pag-andar ng Delta	δ(t)	1
Naantala ang delta	δ(t-a)	e^-as

Mga katangian ng pagbabago ng Laplace

Pangalan ng ari-arian	Pag-andar ng domain ng oras	Pagbabago ng Laplace	Magkomento
	f (t)	F(s)
Linearity	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b ay pare-pareho
Pagbabago ng sukat	f ( sa )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Paglipat	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Pagkaantala	f ( ta )	e ^{- bilang} F ( s )
Pinagmulan	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th derivation	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
kapangyarihan	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Pagsasama	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}(mga) F$
Kapalit	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Convolution	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* ay ang convolution operator
Pana-panahong pag-andar	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Mga halimbawa ng pagbabago ng Laplace

Halimbawa #1

Hanapin ang pagbabago ng f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Solusyon:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Halimbawa #2

Hanapin ang inverse transform ng F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Solusyon:

Upang mahanap ang inverse transform, kailangan nating baguhin ang s domain function sa isang mas simpleng anyo:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Upang mahanap ang a at b, nakakakuha tayo ng 2 equation - isa sa mga s coefficient at pangalawa sa natitira:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Ngayon ang F(s) ay madaling mabago sa pamamagitan ng paggamit ng transforms table para sa exponent function:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t