Mga tuntunin ng derivative

Mga tuntunin at batas ng derivative.Derivatives ng mga function table.

• Derivative na kahulugan
• Mga tuntunin ng derivative
• Derivatives ng mga function table
• Mga halimbawa ng derivative

Derivative na kahulugan

Ang derivative ng isang function ay ang ratio ng pagkakaiba ng halaga ng function na f(x) sa mga puntong x+Δx at x na may Δx, kapag ang Δx ay napakaliit.Ang derivative ay ang function slope o slope ng tangent line sa point x.

 

Pangalawang derivative

Ang pangalawang derivative ay ibinibigay ng:

O kunin lang ang unang derivative:

Nth derivative

Ang n th derivative ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagkuha ng f(x) n beses.

Ang n th derivative ay katumbas ng derivative ng (n-1) derivative:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

Halimbawa:

Hanapin ang pang-apat na derivative ng

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

Derivative sa graph ng function

Ang derivative ng isang function ay ang slop ng tangential line.

Mga tuntunin ng derivative

Panuntunan ng derivative sum	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Panuntunan ng derivative product	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Panuntunan ng derivative quotient
Panuntunan ng derivative chain	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Panuntunan ng derivative sum

Kapag ang a at b ay pare-pareho.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Halimbawa:

Hanapin ang derivative ng:

3 x ² + 4 x.

Ayon sa tuntunin ng kabuuan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Panuntunan ng derivative product

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Panuntunan ng derivative quotient

Panuntunan ng derivative chain

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Ang panuntunang ito ay mas mauunawaan sa notasyon ni Lagrange:

Function linear approximation

Para sa maliit na Δx, makakakuha tayo ng approximation sa f(x ₀ +Δx), kapag alam natin ang f(x ₀ ) at f ' (x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

Derivatives ng mga function table

Pangalan ng function	Function	Derivative
	f (x)	f '( x )
pare-pareho	const	0
Linear	x	1
kapangyarihan	x a	a x a-1
Exponential	e x	e x
Exponential	a x	a x ln a
Likas na logarithm	ln(x)
Logarithm	logb(x)
Sine	sin x	cos x
Cosine	cos x	-sin x
Tangent	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangent	arctan x
Hyperbolic sine	sinh x	cosh x
Hyperbolic cosine	cosh x	sinh x
Hyperbolic tangent	tanh x
Inverse hyperbolic sine	sinh-1 x
Inverse hyperbolic cosine	cosh-1 x
Inverse hyperbolic tangent	tanh-1 x

Mga halimbawa ng derivative

Halimbawa #1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

Halimbawa #2

f (x) = sin(3x²)

Kapag inilalapat ang panuntunan ng chain:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

Pangalawang derivative test

Kapag ang unang derivative ng isang function ay zero sa punto x ₀ .

f '(x₀) = 0

Pagkatapos ang pangalawang derivative sa punto x ₀ , f''(x ₀ ), ay maaaring magpahiwatig ng uri ng puntong iyon:

 

f ''(x0) > 0	lokal na minimum
f ''(x0) < 0	lokal na maximum
f ''(x0) = 0	hindi tiyak

 

---

Tingnan din

• Calculus
• Laplace transform ( ℒ  )
• Mga simbolo ng calculus