లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ ఫంక్షన్
లాప్లేస్ పరివర్తన పట్టిక
లాప్లేస్ పరివర్తన లక్షణాలు
లాప్లేస్ పరివర్తన ఉదాహరణలు

లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ సున్నా నుండి అనంతానికి ఏకీకరణ ద్వారా టైమ్ డొమైన్ ఫంక్షన్‌ను s-డొమైన్ ఫంక్షన్‌గా మారుస్తుంది

సమయ డొమైన్ ఫంక్షన్, e ^-st ద్వారా గుణించబడుతుంది.

అవకలన సమీకరణాలు మరియు సమగ్రాల కోసం త్వరగా పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి లాప్లేస్ పరివర్తన ఉపయోగించబడుతుంది.

సమయ డొమైన్‌లోని ఉత్పన్నం s-డొమైన్‌లో s ద్వారా గుణకారంగా మార్చబడుతుంది.

టైమ్ డొమైన్‌లోని ఇంటిగ్రేషన్ s-డొమైన్‌లో s ద్వారా విభజనగా మార్చబడుతుంది.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ ఫంక్షన్

లాప్లేస్ పరివర్తన L {} ఆపరేటర్‌తో నిర్వచించబడింది:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

విలోమ లాప్లేస్ రూపాంతరం

విలోమ లాప్లేస్ పరివర్తనను నేరుగా లెక్కించవచ్చు.

సాధారణంగా విలోమ పరివర్తన పరివర్తన పట్టిక నుండి ఇవ్వబడుతుంది.

లాప్లేస్ పరివర్తన పట్టిక

ఫంక్షన్ పేరు	టైమ్ డొమైన్ ఫంక్షన్	లాప్లేస్ రూపాంతరం
ఫంక్షన్ పేరు	f (t)	F(s) = L{f (t)}
స్థిరమైన	1	$\frac{1}{s}$
లీనియర్	t	$\frac{1}{s^2}$
శక్తి	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
శక్తి	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
ఘాతాంకం	e^at	$\frac{1}{sa}$
సైన్	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
కొసైన్	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
హైపర్బోలిక్ సైన్	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
హైపర్బోలిక్ కొసైన్	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
పెరుగుతున్న పాపం	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
పెరుగుతున్న కొసైన్	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
క్షీణిస్తున్న పాపం	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
క్షీణిస్తున్న కొసైన్	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
డెల్టా ఫంక్షన్	δ(t)	1
ఆలస్యమైన డెల్టా	δ(t-a)	e^-as

లాప్లేస్ పరివర్తన లక్షణాలు

ఆస్తి పేరు	టైమ్ డొమైన్ ఫంక్షన్	లాప్లేస్ రూపాంతరం	వ్యాఖ్య
	f (t)	F(s)
సరళత	af ( t )+ bg ( t )	aF ( లు ) + bG ( లు )	a , b స్థిరంగా ఉంటాయి
స్కేల్ మార్పు	f ( వద్ద )	$\frac{1}{a}F\ఎడమ ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
మార్పు	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
ఆలస్యం	f ( ta )	ఇ ^-F ( లు ) ^వలె
ఉత్పన్నం	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-వ ఉత్పన్నం	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
శక్తి	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(లు)}{ds^n}$
అనుసంధానం	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(లు)$
పరస్పరం	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
కన్వల్యూషన్	f ( t ) * g ( t )	F ( లు ) ⋅ G ( లు )	* is the convolution operator
ఆవర్తన ఫంక్షన్	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

లాప్లేస్ పరివర్తన ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ #1

f(t) యొక్క పరివర్తనను కనుగొనండి:

f (t) = 3t + 2t²

పరిష్కారం:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

ఉదాహరణ #2

F(ల) యొక్క విలోమ పరివర్తనను కనుగొనండి:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

పరిష్కారం:

విలోమ పరివర్తనను కనుగొనడానికి, మేము s డొమైన్ ఫంక్షన్‌ను సరళమైన రూపానికి మార్చాలి:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a మరియు bని కనుగొనడానికి, మనకు 2 సమీకరణాలు లభిస్తాయి - s గుణకాలలో ఒకటి మరియు మిగిలిన వాటిలో రెండవది:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

ఇప్పుడు ఘాతాంక ఫంక్షన్ కోసం ట్రాన్స్‌ఫార్మ్స్ టేబుల్‌ని ఉపయోగించడం ద్వారా F(లు)ని సులభంగా మార్చవచ్చు:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t