ఉత్పన్న నియమాలు

ఉత్పన్న నియమాలు మరియు చట్టాలు.ఫంక్షన్ల పట్టిక యొక్క ఉత్పన్నాలు.

ఉత్పన్న నిర్వచనం

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అనేది Δx అనంతంగా చిన్నగా ఉన్నప్పుడు x+Δx మరియు xతో x పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువ f(x) యొక్క వ్యత్యాసం యొక్క నిష్పత్తి.డెరివేటివ్ అనేది పాయింట్ x వద్ద టాంజెంట్ లైన్ యొక్క ఫంక్షన్ వాలు లేదా వాలు.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

రెండవ ఉత్పన్నం

రెండవ ఉత్పన్నం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

లేదా మొదటి ఉత్పన్నాన్ని పొందండి:

f''(x)=(f'(x))'

N వ ఉత్పన్నం

n వఉత్పన్నం f(x) n సార్లు ఉత్పన్నం చేయడం ద్వారా గణించబడుతుంది.

n వ ఉత్పన్నం (n-1) ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

ఉదాహరణ:

యొక్క నాల్గవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌పై ఉత్పన్నం

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం టాంజెన్షియల్ లైన్ యొక్క స్లాప్.

ఉత్పన్న నియమాలు

డెరివేటివ్ సమ్ రూల్

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
ఉత్పన్న ఉత్పత్తి నియమం

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
డెరివేటివ్ కోటీన్ నియమం \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
డెరివేటివ్ చైన్ రూల్

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

డెరివేటివ్ సమ్ రూల్

a మరియు b స్థిరాంకాలుఅయినప్పుడు .

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

ఉదాహరణ:

దీని ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

3 x 2 + 4 x.

మొత్తం నియమం ప్రకారం:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g ' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

ఉత్పన్న ఉత్పత్తి నియమం

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

డెరివేటివ్ కోటీన్ నియమం

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

డెరివేటివ్ చైన్ రూల్

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

ఈ నియమాన్ని Lagrange యొక్క సంజ్ఞామానంతో బాగా అర్థం చేసుకోవచ్చు:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

ఫంక్షన్ లీనియర్ ఉజ్జాయింపు

చిన్న Δx కొరకు, f (x 0

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

ఫంక్షన్ల పట్టిక యొక్క ఉత్పన్నాలు

ఫంక్షన్ పేరు ఫంక్షన్ ఉత్పన్నం

f (x)

 f '( x )
స్థిరమైన

const

0
లీనియర్

x

1
శక్తి

x a

a x a-1
ఘాతాంక

e x

e x
ఘాతాంక

a x

a x ln a
సహజ సంవర్గమానం

ln(x)

సంవర్గమానం

logb(x)

సైన్

sin x

cos x
కొసైన్

cos x

-sin x
టాంజెంట్

tan x

ఆర్క్సిన్

arcsin x

ఆర్కోసిన్

arccos x

ఆర్క్టాంజెంట్

arctan x
హైపర్బోలిక్ సైన్

sinh x

cosh x
హైపర్బోలిక్ కొసైన్

cosh x

sinh x
హైపర్బోలిక్ టాంజెంట్

tanh x

విలోమ హైపర్బోలిక్ సైన్

sinh-1 x

విలోమ హైపర్బోలిక్ కొసైన్

cosh-1 x

విలోమ హైపర్బోలిక్ టాంజెంట్

tanh-1 x

ఉత్పన్న ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

ఉదాహరణ #2

f (x) = sin(3x2)

గొలుసు నియమాన్ని వర్తింపజేసేటప్పుడు:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం పాయింట్ x 0 వద్ద సున్నా అయినప్పుడు .

f '(x0) = 0

అప్పుడు పాయింట్ x 0 , f''(x 0 ) వద్ద ఉన్న రెండవ ఉత్పన్నంఆ బిందువు రకాన్ని సూచిస్తుంది:

 

f ''(x0) > 0

 స్థానిక కనీస

f ''(x0) < 0

 స్థానిక గరిష్ట

f ''(x0) = 0

 నిర్ణయించబడలేదు

 

ఇది కూడ చూడు

Advertising

కాలిక్యులస్
°• CmtoInchesConvert.com •°