Laplace மாற்றம்

Laplace உருமாற்ற செயல்பாடு
லாப்லேஸ் மாற்றும் அட்டவணை
Laplace மாற்றும் பண்புகள்
லாப்லேஸ் உருமாற்ற எடுத்துக்காட்டுகள்

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் டைம் டொமைன் செயல்பாட்டை எஸ்-டொமைன் செயல்பாடாக மாற்றுகிறது

நேர டொமைன் செயல்பாட்டின், e ^-st ஆல் பெருக்கப்படுகிறது .

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான தீர்வுகளை விரைவாகக் கண்டறிய Laplace உருமாற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நேரக் களத்தில் உள்ள வழித்தோன்றல் s-டொமைனில் s ஆல் பெருக்கமாக மாற்றப்படுகிறது.

நேர களத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு s-டொமைனில் s ஆல் வகுபடுவதற்கு மாற்றப்படுகிறது.

Laplace உருமாற்ற செயல்பாடு

Laplace உருமாற்றம் L {} ஆபரேட்டரைக்கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது :

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

தலைகீழ் லாப்லேஸ் உருமாற்றம்

தலைகீழ் லாப்லேஸ் மாற்றத்தை நேரடியாகக் கணக்கிடலாம்.

பொதுவாக தலைகீழ் உருமாற்றமானது உருமாற்ற அட்டவணையில் இருந்து கொடுக்கப்படுகிறது.

லாப்லேஸ் மாற்றும் அட்டவணை

செயல்பாட்டின் பெயர்	டைம் டொமைன் செயல்பாடு	லாப்லேஸ் உருமாற்றம்
செயல்பாட்டின் பெயர்	f (t)	F(s) = L{f (t)}
நிலையான	1	$\frac{1}{s}$
நேரியல்	டி	$\frac{1}{s^2}$
சக்தி	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
சக்தி	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
அடுக்கு	e^at	$\frac{1}{sa}$
சைன்	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
கொசைன்	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
ஹைபர்போலிக் சைன்	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
ஹைபர்போலிக் கொசைன்	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
வளரும் சைன்	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
வளரும் கொசைன்	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
அழியும் சைன்	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
அழுகும் கொசைன்	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
டெல்டா செயல்பாடு	δ(t)	1
தாமதமான டெல்டா	δ(t-a)	e^-as

Laplace மாற்றும் பண்புகள்

சொத்தின் பெயர்	டைம் டொமைன் செயல்பாடு	லாப்லேஸ் உருமாற்றம்	கருத்து
	f (t)	F(s)
நேர்கோட்டுத்தன்மை	af ( t )+ bg ( t )	aF ( கள் ) + bG ( கள் )	a , b நிலையானது
அளவு மாற்றம்	f ( மணிக்கு )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
ஷிப்ட்	e- ^at f ( t )	F ( s + a )
தாமதம்	f ( ta )	இ ^-எஃப் ( கள் ) ^ஆக
வழித்தோன்றல்	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-வது வழித்தோன்றல்	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
சக்தி	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
ஒருங்கிணைப்பு	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(கள்)$
பரஸ்பரம்	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
கன்வல்யூஷன்	f ( t ) * g ( t )	எஃப் ( கள் ) ⋅ ஜி ( கள் )	* கன்வல்யூஷன் ஆபரேட்டர்
காலச் செயல்பாடு	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

லாப்லேஸ் உருமாற்ற எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு #1

f(t) இன் உருமாற்றத்தைக் கண்டறியவும்:

f (t) = 3t + 2t²

தீர்வு:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

எடுத்துக்காட்டு #2

F(களின்) தலைகீழ் மாற்றத்தைக் கண்டறியவும்:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

தீர்வு:

தலைகீழ் உருமாற்றத்தைக் கண்டறிய, நாம் s டொமைன் செயல்பாட்டை எளிமையான வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும்:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a மற்றும் b ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் 2 சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் - s குணகங்களில் ஒன்று மற்றும் மீதமுள்ளவற்றில் இரண்டாவது:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

இப்போது F(கள்) ஆனது அடுக்கு செயல்பாட்டிற்கு மாற்றும் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக மாற்றலாம்:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t