வழித்தோன்றல் விதிகள்

வழித்தோன்றல் விதிகள் மற்றும் சட்டங்கள்.செயல்பாடுகள் அட்டவணையின் வழித்தோன்றல்கள்.

• வழித்தோன்றல் வரையறை
• வழித்தோன்றல் விதிகள்
• செயல்பாடுகள் அட்டவணையின் வழித்தோன்றல்கள்
• வழித்தோன்றல் எடுத்துக்காட்டுகள்

வழித்தோன்றல் வரையறை

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது x+Δx மற்றும் x உடன் Δx புள்ளிகளில் உள்ள f(x) மதிப்பின் வேறுபாட்டின் விகிதமாகும், Δx எண்ணற்ற சிறியதாக இருக்கும்போது.வழித்தோன்றல் என்பது x புள்ளியில் உள்ள தொடுகோட்டின் செயல்பாட்டு சாய்வு அல்லது சாய்வு ஆகும்.

 

இரண்டாவது வழித்தோன்றல்

இரண்டாவது வழித்தோன்றல் வழங்கப்படுகிறது:

அல்லது முதல் வழித்தோன்றலைப் பெறுங்கள்:

Nவது வழித்தோன்றல்

n வது வழித்தோன்றல் f(x ) n முறைகளைப் பெறுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது.

n வதுவழித்தோன்றல் (n-1) வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

உதாரணமாக:

நான்காவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் வழித்தோன்றல்

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது தொடுகோட்டின் சாய்வாகும்.

வழித்தோன்றல் விதிகள்

வழித்தோன்றல் தொகை விதி	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
வழித்தோன்றல் தயாரிப்பு விதி	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
வழித்தோன்றல் பங்கு விதி
வழித்தோன்றல் சங்கிலி விதி	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

வழித்தோன்றல் தொகை விதி

a மற்றும் b மாறிலிகளாகஇருக்கும்போது .

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

உதாரணமாக:

இதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

3 x ² + 4 x.

கூட்டு விதியின் படி:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g ' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

வழித்தோன்றல் தயாரிப்பு விதி

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

வழித்தோன்றல் பங்கு விதி

வழித்தோன்றல் சங்கிலி விதி

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

இந்த விதியை லாக்ரேஞ்சின் குறிப்பால் நன்கு புரிந்து கொள்ள முடியும்:

செயல்பாடு நேரியல் தோராயம்

சிறிய Δxக்கு, நாம்f(x ₀ ) மற்றும் f ' (x ₀ ) _:

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

செயல்பாடுகள் அட்டவணையின் வழித்தோன்றல்கள்

செயல்பாட்டின் பெயர்	செயல்பாடு	வழித்தோன்றல்
	f (x)	f '( x )
நிலையான	const	0
நேரியல்	x	1
சக்தி	x a	a x a-1
அதிவேக	e x	e x
அதிவேக	a x	a x ln a
இயற்கை மடக்கை	ln(x)
மடக்கை	logb(x)
சைன்	sin x	cos x
கொசைன்	cos x	-sin x
தொடுகோடு	tan x
ஆர்க்சைன்	arcsin x
ஆர்க்கோசின்	arccos x
ஆர்க்டேன்ஜென்ட்	arctan x
ஹைபர்போலிக் சைன்	sinh x	cosh x
ஹைபர்போலிக் கொசைன்	cosh x	sinh x
ஹைபர்போலிக் டேன்ஜென்ட்	tanh x
தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் சைன்	sinh-1 x
தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் கொசைன்	cosh-1 x
தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் டேன்ஜென்ட்	tanh-1 x

வழித்தோன்றல் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு #1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

எடுத்துக்காட்டு #2

f (x) = sin(3x²)

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தும்போது:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனை

_{ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் புள்ளி x 0} இல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது.

f '(x₀) = 0

பின்னர் புள்ளி x ₀ , f''(x ₀ ) இல் உள்ள இரண்டாவது வழித்தோன்றல், அந்த புள்ளியின் வகையைக் குறிக்கலாம்:

 

f ''(x0) > 0	உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்
f ''(x0) < 0	உள்ளூர் அதிகபட்சம்
f ''(x0) = 0	தீர்மானிக்கப்படாத

 

---

மேலும் பார்க்கவும்

• கால்குலஸ்
• லாப்லேஸ் உருமாற்றம் ( ℒ  )
• கால்குலஸ் சின்னங்கள்