Laplace Transform

Laplace transformationsfunktion
Laplace transform bord
Laplace-transformegenskaper
Laplace transform exempel

Laplace transform konverterar en tidsdomänfunktion till s-domänfunktion genom integration från noll till oändlighet

av tidsdomänfunktionen, multiplicerat med e ^-st .

Laplace-transformen används för att snabbt hitta lösningar för differentialekvationer och integraler.

Härledning i tidsdomänen transformeras till multiplikation med s i s-domänen.

Integration i tidsdomänen omvandlas till division med s i s-domänen.

Laplace transformationsfunktion

Laplace-transformen definieras med operatorn L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Omvänd Laplace-transform

Den inversa Laplace-transformen kan beräknas direkt.

Vanligtvis ges den inversa transformationen från transformationstabellen.

Laplace transform bord

Funktionsnamn	Tidsdomänfunktion	Laplace transformation
Funktionsnamn	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Konstant	1	$\frac{1}{s}$
Linjär	t	$\frac{1}{s^2}$
Kraft	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Kraft	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolisk sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolisk cosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Växande sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Växande cosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Förfallande sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Förfallande cosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funktion	δ(t)	1
Försenat delta	δ(t-a)	e^-as

Laplace-transformegenskaper

Egendomsnamn	Tidsdomänfunktion	Laplace transformation	Kommentar
	f (t)	F(s)
Linjäritet	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b är konstanta
Skalförändring	f ( at )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Flytta	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Dröjsmål	f ( ta )	e ^{- som} F ( s )
Härledning	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N:te härledning	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Kraft	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integration	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Ömsesidig	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Veck	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* är faltningsoperatorn
Periodisk funktion	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Laplace transform exempel

Exempel #1

Hitta transformationen av f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Lösning:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Exempel #2

Hitta den omvända transformationen av F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Lösning:

För att hitta den inversa transformationen måste vi ändra s-domänfunktionen till en enklare form:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

För att hitta a och b får vi två ekvationer - en av s-koefficienterna och den andra av resten:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Nu kan F(s) enkelt transformeras genom att använda transformationstabellen för exponentfunktion:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t