Derivatregler

Härledda regler och lagar.Tabell för derivator av funktioner.

• Derivatdefinition
• Derivatregler
• Tabell för derivator av funktioner
• Härledda exempel

Derivatdefinition

Derivatan av en funktion är förhållandet mellan skillnaden mellan funktionsvärdet f(x) i punkterna x+Δx och x med Δx, när Δx är oändligt liten.Derivatan är funktionen lutning eller lutning för tangentlinjen i punkt x.

 

Andra derivatan

Den andra derivatan ges av:

Eller helt enkelt härleda den första derivatan:

N:te derivata

Den n: te derivatan beräknas genom att härleda f(x) n gånger.

Den n :e derivatan är lika med derivatan av (n-1) derivatan:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

Exempel:

Hitta den fjärde derivatan av

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

Derivat på graf över funktion

Derivatan av en funktion är lutningen på tangentiallinjen.

Derivatregler

Derivatsummeregel	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Regel för derivatprodukt	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regel för derivatkvot
Derivatkedjeregel	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Derivatsummeregel

När a och b är konstanter.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Exempel:

Hitta derivatan av:

3 x ² + 4 x.

Enligt summaregeln:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Regel för derivatprodukt

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regel för derivatkvot

Derivatkedjeregel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Denna regel kan bättre förstås med Lagranges notation:

Funktion linjär approximation

För liten Δx kan vi få en approximation till f(x ₀ +Δx), när vi vet f(x ₀ ) och f ' (x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

Tabell för derivator av funktioner

Funktionsnamn	Fungera	Derivat
	f (x)	f '( x )
Konstant	const	0
Linjär	x	1
Kraft	x a	a x a-1
Exponentiell	e x	e x
Exponentiell	a x	a x ln a
Naturlig logaritm	ln(x)
Logaritm	logb(x)
Sinus	sin x	cos x
Cosinus	cos x	-sin x
Tangent	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangens	arctan x
Hyperbolisk sinus	sinh x	cosh x
Hyperbolisk cosinus	cosh x	sinh x
Hyperbolisk tangent	tanh x
Invers hyperbolisk sinus	sinh-1 x
Invers hyperbolisk cosinus	cosh-1 x
Invers hyperbolisk tangent	tanh-1 x

Härledda exempel

Exempel #1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

Exempel #2

f (x) = sin(3x²)

När du tillämpar kedjeregeln:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

Andra derivattest

När förstaderivatan av en funktion är noll i punkten x ₀ .

f '(x₀) = 0

Sedan kan andraderivatan vid punkt x ₀ , f''(x ₀ ), indikera typen av den punkten:

 

f ''(x0) > 0	lokalt minimum
f ''(x0) < 0	lokalt maximum
f ''(x0) = 0	obestämd

 

---

Se även

• Kalkyl
• Laplace transform ( ℒ  )
• Kalkylsymboler