Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacijska funkcija
Tabela Laplaceove transformacije
Lastnosti Laplaceove transformacije
Primeri Laplaceove transformacije

Laplaceova transformacija pretvori funkcijo časovne domene v funkcijo s-domene z integracijo od nič do neskončnosti

funkcije časovne domene, pomnožene z e ^-st .

Laplaceova transformacija se uporablja za hitro iskanje rešitev diferencialnih enačb in integralov.

Izpeljava v časovni domeni se pretvori v množenje s s v s-domeni.

Integracija v časovni domeni se pretvori v deljenje s s v s-domeni.

Laplaceova transformacijska funkcija

Laplaceova transformacija je definirana z operatorjem L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverzna Laplaceova transformacija

Inverzno Laplaceovo transformacijo je mogoče izračunati neposredno.

Običajno je inverzna transformacija podana iz tabele transformacij.

Tabela Laplaceove transformacije

Ime funkcije	Funkcija časovne domene	Laplaceova transformacija
Ime funkcije	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Konstanta	1	$\frac{1}{s}$
Linearno	t	$\frac{1}{s^2}$
Moč	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Moč	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Eksponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hiperbolični sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hiperbolični kosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Rastoči sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Rastoči kosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Razpadajoči sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\levo ( s+a \desno )^2+\omega ^2}$
Upadajoči kosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\levo ( s+a \desno)^2+\omega ^2}$
Delta funkcija	δ(t)	1
Delta z zamudo	δ(t-a)	e^-as

Lastnosti Laplaceove transformacije

Ime nepremičnine	Funkcija časovne domene	Laplaceova transformacija	Komentiraj
	f (t)	F(s)
Linearnost	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b sta konstantna
Sprememba lestvice	f ( pri )	$\frac{1}{a}F\levo ( \frac{s}{a} \desno )$	a >0
Shift	e ^-pri f ( t )	F ( s + a )
Zamuda	f ( ta )	e ^{- kot} F ( s )
Izpeljava	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ta izpeljava	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Moč	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integracija	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Vzajemno	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolucija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* je konvolucijski operator
Periodična funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Primeri Laplaceove transformacije

Primer #1

Poiščite transformacijo f(t):

f (t) = 3t + 2t²

rešitev:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Primer #2

Poiščite inverzno transformacijo F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

rešitev:

Da bi našli inverzno transformacijo, moramo funkcijo domene s spremeniti v enostavnejšo obliko:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Za iskanje a in b dobimo 2 enačbi - eno od koeficientov s in drugo od preostalih:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Zdaj je F(s) mogoče enostavno transformirati z uporabo tabele transformacij za eksponentno funkcijo:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t