Konvolucija

Konvolucija je korelacijska funkcija f(τ) z obrnjeno funkcijo g(t-τ).

Operator konvolucije je simbol zvezdice * .

Konvolucija f(t) in g(t) je enaka integralu f(τ) krat f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Konvolucija 2 diskretnih funkcij je definirana kot:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Za obdelavo slik se običajno uporablja 2-dimenzionalna diskretna konvolucija.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Diskretni vhodni signal x(n) lahko filtriramo s konvolucijo z impulznim odzivom h(n), da dobimo izhodni signal y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Fourierjeva transformacija množenja dveh funkcij je enaka konvoluciji Fourierjevih transformacij vsake funkcije:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Fourierjeva transformacija konvolucije dveh funkcij je enaka množenju Fourierjevih transformacij vsake funkcije:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Poglej tudi