Pravila izpeljave

Pravila in zakoni izpeljave.Tabela odvodov funkcij.

Izpeljana definicija

Odvod funkcije je razmerje razlike vrednosti funkcije f(x) v točkah x+Δx in x z Δx, ko je Δx neskončno majhna.Odvod je naklon funkcije ali naklon tangente v točki x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Druga izpeljanka

Drugi derivat je podan z:

Ali preprosto izpeljite prvo izpeljanko:

f''(x)=(f'(x))'

N-ti derivat

N -ti odvod se izračuna tako, da se f(x) izvede n-krat.

N - ti odvod je enak odvodu (n-1) odvoda:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

primer:

Poiščite četrti odvod

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Odvod na grafu funkcije

Odvod funkcije je naklon tangencialne premice.

Pravila izpeljave

Pravilo izpeljane vsote

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Pravilo o izpeljanem produktu

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Pravilo izpeljanega količnika \levo ( \frac{f(x)}{g(x)} \desno )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Pravilo izpeljane verige

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Pravilo izpeljane vsote

Ko sta a in b konstanti.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

primer:

Poiščite izpeljanko:

3 x 2 + 4 x.

Po pravilu vsote:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Pravilo o izpeljanem produktu

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Pravilo izpeljanega količnika

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Pravilo izpeljane verige

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

To pravilo je mogoče bolje razumeti z Lagrangeovim zapisom:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Linearna aproksimacija funkcije

Za majhne Δx lahko dobimo približek f(x 0 +Δx), ko poznamo f(x 0 ) in f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabela odvodov funkcij

Ime funkcije funkcija Izpeljanka

f (x)

 f '( x )
Konstanta

const

0
Linearno

x

1
Moč

x a

a x a-1
Eksponentna

e x

e x
Eksponentna

a x

a x ln a
Naravni logaritem

ln(x)

Logaritem

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Kosinus

cos x

-sin x
Tangenta

tan x

Arkusin

arcsin x

Arkosinus

arccos x

Arktangens

arctan x
Hiperbolični sinus

sinh x

cosh x
Hiperbolični kosinus

cosh x

sinh x
Hiperbolični tangens

tanh x

Inverzni hiperbolični sinus

sinh-1 x

Inverzni hiperbolični kosinus

cosh-1 x

Inverzni hiperbolični tangens

tanh-1 x

Izpeljani primeri

Primer #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Primer #2

f (x) = sin(3x2)

Pri uporabi verižnega pravila:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Preskus drugega derivata

Ko je prvi odvod funkcije enak nič v točki x 0 .

f '(x0) = 0

Potem lahko drugi odvod v točki x 0 , f''(x 0 ), označuje vrsto te točke:

 

f ''(x0) > 0

 lokalni minimum

f ''(x0) < 0

 lokalni maksimum

f ''(x0) = 0

 nedoločen

 

Poglej tudi

Advertising

RAČUN
°• CmtoInchesConvert.com •°