Laplaceova transformácia

Laplaceova transformačná funkcia
Laplaceova transformačná tabuľka
Vlastnosti Laplaceovej transformácie
Príklady Laplaceovej transformácie

Laplaceova transformácia konvertuje funkciu časovej domény na funkciu s-domény integráciou od nuly do nekonečna

funkcie časovej oblasti, vynásobené e ^-st .

Laplaceova transformácia sa používa na rýchle nájdenie riešení pre diferenciálne rovnice a integrály.

Derivácia v časovej oblasti sa transformuje na násobenie s v oblasti s.

Integrácia v časovej oblasti sa transformuje na delenie podľa s v oblasti s.

Laplaceova transformačná funkcia

Laplaceova transformácia je definovaná pomocou operátora L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverzná Laplaceova transformácia

Inverznú Laplaceovu transformáciu možno vypočítať priamo.

Inverzná transformácia je zvyčajne daná z tabuľky transformácií.

Laplaceova transformačná tabuľka

Názov funkcie	Funkcia časovej domény	Laplaceova transformácia
Názov funkcie	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Neustále	1	$\frac{1}{s}$
Lineárne	t	$\frac{1}{s^2}$
Moc	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Moc	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sine	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosínus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolický sínus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolický kosínus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Rastúci sínus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Rastúci kosínus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Rozpadajúci sa sínus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Rozpadajúci sa kosínus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funkcia	δ(t)	1
Oneskorená delta	δ(t-a)	e^-as

Vlastnosti Laplaceovej transformácie

Názov vlastnosti	Funkcia časovej domény	Laplaceova transformácia	Komentujte
	f (t)	F(s)
Linearita	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b sú konštantné
Zmena mierky	f ( v )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Shift	e ^-atf ( t ) _	F ( s + a )
Oneskorenie	f ( ta )	e ^{- ako} F ( s )
Odvodzovanie	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-tá derivácia	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Moc	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
integrácia	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(y)$
Recipročné	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolúcia	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* je konvolučný operátor
Periodická funkcia	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Príklady Laplaceovej transformácie

Príklad č. 1

Nájdite transformáciu f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Riešenie:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Príklad č. 2

Nájdite inverznú transformáciu F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Riešenie:

Aby sme našli inverznú transformáciu, musíme zmeniť funkciu domény s na jednoduchšiu formu:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Na nájdenie a a b dostaneme 2 rovnice - jeden z koeficientov s a druhý zo zvyšku:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Teraz možno F(s) ľahko transformovať pomocou tabuľky transformácií pre funkciu exponentu:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t