Pravidlá odvodenia

Odvodené pravidlá a zákony.Tabuľka derivátov funkcií.

Definícia derivátu

Derivácia funkcie je pomer rozdielu funkčnej hodnoty f(x) v bodoch x+Δx a x s Δx, keď Δx je nekonečne malé.Derivácia je funkčná strmosť alebo strmosť dotyčnice v bode x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Druhá derivácia

Druhá derivácia je daná:

Alebo jednoducho odvodzujte prvú deriváciu:

f''(x)=(f'(x))'

N-tá derivácia

N -tá derivácia sa vypočíta odvodením f(x) n-krát.

N -tá derivácia sa rovná derivácii (n-1) derivácie:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Príklad:

Nájdite štvrtý derivát z

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivácia na grafe funkcie

Deriváciou funkcie je sklon tangenciálnej čiary.

Pravidlá odvodenia

Pravidlo odvodeného súčtu

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Pravidlo odvodeného produktu

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Pravidlo derivačného kvocientu \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Pravidlo derivačného reťazca

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Pravidlo odvodeného súčtu

Keď a a b sú konštanty.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Príklad:

Nájdite derivát:

3 x 2 + 4 x.

Podľa pravidla súčtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo odvodeného produktu

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Pravidlo derivačného kvocientu

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Pravidlo derivačného reťazca

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Toto pravidlo možno lepšie pochopiť pomocou Lagrangeovho zápisu:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Lineárna aproximácia funkcie

Pre malé Δx môžeme získať aproximáciu k f(x 0 + Δx), keď poznáme f(x 0 ) a f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabuľka derivátov funkcií

Názov funkcie Funkcia Derivát

f (x)

 f '( x )
Neustále

const

0
Lineárne

x

1
Moc

x a

a x a-1
Exponenciálny

e x

e x
Exponenciálny

a x

a x ln a
Prirodzený logaritmus

ln(x)

Logaritmus

logb(x)

Sine

sin x

cos x
Kosínus

cos x

-sin x
Tangenta

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arktangens

arctan x
Hyperbolický sínus

sinh x

cosh x
Hyperbolický kosínus

cosh x

sinh x
Hyperbolická dotyčnica

tanh x

Inverzný hyperbolický sínus

sinh-1 x

Inverzný hyperbolický kosínus

cosh-1 x

Inverzná hyperbolická tangens

tanh-1 x

Príklady odvodení

Príklad č. 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Príklad č. 2

f (x) = sin(3x2)

Pri použití reťazového pravidla:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Druhý derivačný test

Keď je prvá derivácia funkcie nula v bode x 0 .

f '(x0) = 0

Potom druhá derivácia v bode x 0 , f''(x 0 ), môže naznačovať typ tohto bodu:

 

f ''(x0) > 0

 miestne minimum

f ''(x0) < 0

 miestne maximum

f ''(x0) = 0

 neurčené

 

Pozri tiež

Advertising

kalkul
°• CmtoInchesConvert.com •°