Konvolúcia

Konvolúcia je korelačná funkcia f(τ) s obrátenou funkciou g(t-τ).

Konvolučný operátor je symbol hviezdičky * .

Konvolúcia f(t) ag(t) sa rovná integrálu f(τ) krát f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Konvolúcia 2 diskrétnych funkcií je definovaná ako:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Na spracovanie obrazu sa zvyčajne používa 2-rozmerná diskrétna konvolúcia.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Diskrétny vstupný signál x(n) môžeme filtrovať konvolúciou s impulznou odozvou h(n), aby sme dostali výstupný signál y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Fourierova transformácia násobenia 2 funkcií sa rovná konvolúcii Fourierových transformácií každej funkcie:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Fourierova transformácia konvolúcie 2 funkcií sa rovná násobeniu Fourierových transformácií každej funkcie:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Pozri tiež