Преобразование Лапласа

Функция преобразования Лапласа
Таблица преобразования Лапласа
Свойства преобразования Лапласа
Примеры преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа преобразует функцию временной области в функцию s-области путем интегрирования от нуля до бесконечности.

функции временной области, умноженной на e ^-st .

Преобразование Лапласа используется для быстрого нахождения решений дифференциальных уравнений и интегралов.

Вывод во временной области преобразуется в умножение на s в s-области.

Интегрирование во временной области преобразуется в деление на s в s-области.

Функция преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа определяется оператором L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Лапласа можно вычислить напрямую.

Обычно обратное преобразование дается из таблицы преобразований.

Таблица преобразования Лапласа

Имя функции	Функция временной области	преобразование Лапласа
Имя функции	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Постоянный	1	$\фракция{1}{с}$
Линейный	т	$\фракция{1}{с^2}$
Власть	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Власть	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Экспонента	e^at	$\фракция{1}{са}$
Синус	sin at	$\ гидроразрыв {а} {s ^ 2 + а ^ 2}$
Косинус	cos at	$\ гидроразрыв {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Гиперболический синус	sinh at	$\ гидроразрыв {а} {с ^ 2-а ^ 2}$
Гиперболический косинус	cosh at	$\ гидроразрыв {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Растущий синус	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Растущий косинус	t cos at	$\ гидроразрыва {s ^ 2-а ^ 2} {(s ^ 2 + а ^ 2) ^ 2}$
Затухающий синус	e^-atsin ωt	$\ гидроразрыва {\ омега} {\ влево ( с + а \ вправо) ^ 2+ \ омега ^ 2}$
Затухающий косинус	e^-atcos ωt	$\ гидроразрыва {s + а} {\ влево ( s + а \ справа) ^ 2+ \ омега ^ 2}$
Дельта-функция	δ(t)	1
Задержанная дельта	δ(t-a)	e^-as

Свойства преобразования Лапласа

Имя свойства	Функция временной области	преобразование Лапласа	Комментарий
	f (t)	F(s)
Линейность	аф ( т ) + бг ( т )	aF ( с ) + bG ( с )	а , b постоянны
Изменение масштаба	ж ( в )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	а >0
Сдвиг	е ^-ат f ( t )	Ф ( с + а )
Задерживать	ф ( та )	е ^{- как} F ( s )
Вывод	$\ гидроразрыв {дф (т)} {дт}$	sF ( с ) - f (0)
N-й вывод	$\ гидроразрыва {d ^ nf (т)} {dt ^ п}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Власть	т ^н ж ( т )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Интеграция	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
взаимный	$\frac{1}{t}f(t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
свертка	ж ( т ) * г ( т )	Ф ( с ) ⋅ г ( с )	* - оператор свертки
Периодическая функция	ж ( т ) знак равно ж ( т + Т )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Примеры преобразования Лапласа

Пример №1

Найдите преобразование f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Решение:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Пример #2

Найдите обратное преобразование F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Решение:

Чтобы найти обратное преобразование, нам нужно изменить функцию домена s на более простую форму:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Для нахождения a и b получаем 2 уравнения - одно из s коэффициентов и второе из остальных:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Теперь F(s) можно легко преобразовать, используя таблицу преобразований для экспоненциальной функции:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t