Производные правила

Производные правила и законы.Таблица производных функций.

• Производное определение
• Производные правила
• Таблица производных функций
• Производные примеры

Производное определение

Производная функции – это отношение разности значений функции f(x) в точках x+∆x и x с ∆x, когда ∆x бесконечно мало.Производная — это наклон функции или наклон касательной в точке x.

 

Вторая производная

Вторая производная определяется по формуле:

Или просто вывести первую производную:

N-я производная

n -я производная вычисляется путем вычисления f(x) n раз.

n -я производная равна производной от (n-1) производной:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

Пример:

Найдите четвертую производную от

ж ( х ) = 2 х ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

Производная на графике функции

Производная функции – это наклон касательной.

Производные правила

Производное правило сумм	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Правило производного произведения	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Правило производного частного
Правило производной цепи	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Производное правило сумм

Когда a и b являются константами.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Пример:

Найдите производную от:

3 х ² + 4 х.

По правилу сумм:

а = 3, б = 4

ж ( Икс ) знак равно Икс ² , г ( Икс ) знак равно Икс

ж ' ( Икс ) знак равно 2 Икс , г' ( Икс ) = 1

(3 х ² + 4 х )' = 3⋅2 х +4⋅1 = 6 х + 4

Правило производного произведения

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Правило производного частного

Правило производной цепи

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Это правило можно лучше понять с помощью обозначений Лагранжа:

Функция линейного приближения

Для малых Δx мы можем получить приближение к f( x0 ₊ Δx), когда мы знаем f(x0 ₎ и f'(x0 ₎ :

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

Таблица производных функций

Имя функции	Функция	Производная
	f (x)	ф '( х )
Постоянный	const	0
Линейный	x	1
Власть	x a	a x a-1
экспоненциальный	e x	e x
экспоненциальный	a x	a x ln a
Натуральный логарифм	ln(x)
Логарифм	logb(x)
Синус	sin x	cos x
Косинус	cos x	-sin x
Тангенс	tan x
Арксинус	arcsin x
арккосинус	arccos x
Арктангенс	arctan x
Гиперболический синус	sinh x	cosh x
Гиперболический косинус	cosh x	sinh x
Гиперболический тангенс	tanh x
Обратный гиперболический синус	sinh-1 x
Арктический гиперболический косинус	cosh-1 x
Арктический гиперболический тангенс	tanh-1 x

Производные примеры

Пример №1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

Пример #2

f (x) = sin(3x²)

При применении цепного правила:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

Тест второй производной

Когда первая производная функции равна нулю в точке x ₀ .

f '(x₀) = 0

Тогда вторая производная в точке x0 _, f''(x0 ₎ , может указать тип этой точки:

 

f ''(x0) > 0	локальный минимум
f ''(x0) < 0	локальный максимум
f ''(x0) = 0	неопределенный

 

---

Смотрите также

• Исчисление
• Преобразование Лапласа ( ℒ  )
• Символы исчисления