Transformarea Laplace

Funcția de transformare Laplace
Masa de transformare Laplace
Proprietățile transformării Laplace
Exemple de transformate Laplace

Transformarea Laplace convertește o funcție din domeniul timpului în funcție din domeniul s prin integrare de la zero la infinit

a funcției din domeniul timpului, înmulțită cu e ^-st .

Transformarea Laplace este folosită pentru a găsi rapid soluții pentru ecuații diferențiale și integrale.

Derivarea în domeniul timp este transformată în multiplicare cu s în domeniul s.

Integrarea în domeniul timp este transformată în împărțire cu s în domeniul s.

Funcția de transformare Laplace

Transformarea Laplace este definită cu operatorul L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Transformarea Laplace inversă

Transformarea Laplace inversă poate fi calculată direct.

De obicei, transformarea inversă este dată din tabelul de transformări.

Masa de transformare Laplace

Numele funcției	Funcția domeniului timp	Transformarea Laplace
Numele funcției	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Constant	1	$\frac{1}{s}$
Liniar	t	$\frac{1}{s^2}$
Putere	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Putere	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Sinus hiperbolic	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Cosinus hiperbolic	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Sinus în creștere	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Cosinus în creștere	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Sinus în descompunere	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Cosinus în descompunere	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Funcția Delta	δ(t)	1
Delta întârziată	δ(t-a)	e^-as

Proprietățile transformării Laplace

Numele proprietatii	Funcția domeniului timp	Transformarea Laplace	cometariu
	f (t)	F(s)
Liniaritate	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b sunt constante
Schimbarea de scară	f ( la )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Schimb	e ^-la f ( t )	F ( s + a )
Întârziere	f ( ta )	e ^{- ca} F ( s )
Derivare	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
Derivarea a N-a	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Putere	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integrare	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(e)$
Reciproc	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Convoluţie	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* este operatorul de convoluție
Funcția periodică	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Exemple de transformate Laplace

Exemplul #1

Găsiți transformarea lui f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Soluţie:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Exemplul #2

Aflați transformarea inversă a lui F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Soluţie:

Pentru a găsi transformarea inversă, trebuie să schimbăm funcția de domeniu s într-o formă mai simplă:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Pentru a găsi a și b, obținem 2 ecuații - unul dintre coeficienții s și al doilea din restul:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Acum F(s) poate fi transformat cu ușurință folosind tabelul de transformări pentru funcția de exponent:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t