Convoluţie

Convoluția este funcția de corelație a lui f(τ) cu funcția inversă g(t-τ).

Operatorul de convoluție este simbolul asterisc * .

Convoluția lui f(t) și g(t) este egală cu integrala lui f(τ) ori f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Convoluția a 2 funcții discrete este definită ca:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Convoluția discretă bidimensională este de obicei folosită pentru procesarea imaginilor.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Putem filtra semnalul de intrare discret x(n) prin convoluție cu răspunsul la impuls h(n) pentru a obține semnalul de ieșire y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Transformarea Fourier a unei înmulțiri a 2 funcții este egală cu convoluția transformatelor Fourier ale fiecărei funcții:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Transformata Fourier a unei convoluții de 2 funcții este egală cu înmulțirea transformărilor Fourier ale fiecărei funcții:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Vezi si