Reguli derivate

Reguli și legi derivate.Derivatele tabelului de funcții.

Definiție derivată

Derivata unei funcții este raportul dintre diferența valorii funcției f(x) în punctele x+Δx și x cu Δx, când Δx este infinitezimal mic.Derivata este funcția panta sau panta dreptei tangente în punctul x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Derivată a doua

A doua derivată este dată de:

Sau pur și simplu derivă prima derivată:

f''(x)=(f'(x))'

Derivată a N-a

Derivata a n - a se calculează prin derivarea f(x) de n ori.

Derivata a n -a este egală cu derivata derivatei (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Exemplu:

Găsiți derivata a patra a

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivată pe graficul funcției

Derivata unei funcții este panta dreptei tangențiale.

Reguli derivate

Regula sumei derivate

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Regula produsului derivat

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regula coeficientului derivat \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
Regula lanțului derivat

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Regula sumei derivate

Când a și b sunt constante.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Exemplu:

Găsiți derivata lui:

3 x 2 + 4 x.

Conform regulii sumei:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Regula produsului derivat

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regula coeficientului derivat

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Regula lanțului derivat

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Această regulă poate fi înțeleasă mai bine cu notația lui Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Aproximație liniară a funcției

Pentru Δx mic, putem obține o aproximare a f(x 0 +Δx), când știm f(x 0 ) și f '(x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Derivatele tabelului de funcții

Numele funcției Funcţie Derivat

f (x)

 f '( x )
Constant

const

0
Liniar

x

1
Putere

x a

a x a-1
Exponenţial

e x

e x
Exponenţial

a x

a x ln a
Logaritmul natural

ln(x)

Logaritm

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Cosinus

cos x

-sin x
Tangentă

tan x

Arcsin

arcsin x

Arccozină

arccos x

Arctangent

arctan x
Sinus hiperbolic

sinh x

cosh x
Cosinus hiperbolic

cosh x

sinh x
Tangenta hiperbolica

tanh x

Sinus hiperbolic invers

sinh-1 x

Cosinus hiperbolic invers

cosh-1 x

tangentă hiperbolică inversă

tanh-1 x

Exemple derivate

Exemplul #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Exemplul #2

f (x) = sin(3x2)

Când se aplică regula lanțului:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Testul derivatei a doua

Când derivata întâi a unei funcții este zero în punctul x 0 .

f '(x0) = 0

Atunci derivata a doua la punctul x 0 , f''(x 0 ), poate indica tipul acelui punct:

 

f ''(x0) > 0

 minim local

f ''(x0) < 0

 maxim local

f ''(x0) = 0

 nedeterminat

 

Vezi si

Advertising

CALCUL
°• CmtoInchesConvert.com •°