Transformada de Laplace

Função transformada de Laplace
tabela de transformação de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
Exemplos de transformada de Laplace

A transformada de Laplace converte uma função no domínio do tempo para uma função no domínio s por integração de zero ao infinito

da função no domínio do tempo, multiplicada por e ^-st .

A transformada de Laplace é usada para encontrar rapidamente soluções para equações diferenciais e integrais.

A derivação no domínio do tempo é transformada em multiplicação por s no domínio s.

A integração no domínio do tempo é transformada em divisão por s no domínio s.

Função transformada de Laplace

A transformação de Laplace é definida com o operador L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Transformada inversa de Laplace

A transformada inversa de Laplace pode ser calculada diretamente.

Normalmente, a transformada inversa é fornecida na tabela de transformações.

tabela de transformação de Laplace

Nome da função	Função no domínio do tempo	transformada de Laplace
Nome da função	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Constante	1	$\frac{1}{s}$
Linear	t	$\frac{1}{s^2}$
Poder	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Poder	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Expoente	e^at	$\frac{1}{sa}$
Seno	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
cosseno	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
seno hiperbólico	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
cosseno hiperbólico	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
seno crescente	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
cosseno crescente	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
seno decadente	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\esquerda ( s+a \direita )^2+\omega ^2}$
Cosseno decadente	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\esquerda ( s+a \direita )^2+\omega ^2}$
função delta	δ(t)	1
delta atrasado	δ(t-a)	e^-as

Propriedades da transformada de Laplace

Nome da propriedade	Função no domínio do tempo	transformada de Laplace	Comente
	f (t)	F(s)
Linearidade	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b são constantes
Mudança de escala	f ( em )	$\frac{1}{a}F\esquerda ( \frac{s}{a} \direita )$	a >0
Mudança	e ^{- em} f ( t )	F ( s + a )
Atraso	f ( ta )	e ^{- como} F ( s )
Derivação	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ésima derivação	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Poder	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integração	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Recíproca	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Convolução	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* é o operador de convolução
função periódica	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Exemplos de transformada de Laplace

Exemplo 1

Encontre a transformada de f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Solução:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Exemplo #2

Encontre a transformada inversa de F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Solução:

Para encontrar a transformada inversa, precisamos alterar a função de domínio s para uma forma mais simples:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Para encontrar a e b, obtemos 2 equações - um dos coeficientes s e o segundo do resto:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Agora F(s) pode ser transformado facilmente usando a tabela de transformações para a função expoente:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t