Convolução

A convolução é a função de correlação de f(τ) com a função inversa g(t-τ).

O operador de convolução é o símbolo de asterisco * .

A convolução de f(t) e g(t) é igual à integral de f(τ) vezes f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

A convolução de 2 funções discretas é definida como:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

A convolução discreta bidimensional é geralmente usada para processamento de imagens.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Podemos filtrar o sinal de entrada discreto x(n) por convolução com a resposta ao impulso h(n) para obter o sinal de saída y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

A transformada de Fourier de uma multiplicação de 2 funções é igual à convolução das transformadas de Fourier de cada função:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

A transformada de Fourier de uma convolução de 2 funções é igual à multiplicação das transformadas de Fourier de cada função:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Veja também