Regras derivadas

Regras e leis derivadas.Tabela de derivadas de funções.

Definição de derivada

A derivada de uma função é a razão entre a diferença do valor da função f(x) nos pontos x+Δx e x com Δx, quando Δx é infinitamente pequeno.A derivada é a inclinação da função ou inclinação da linha tangente no ponto x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

segunda derivada

A segunda derivada é dada por:

Ou simplesmente derivar a primeira derivada:

f''(x)=(f'(x))'

N-ésima derivada

A n -ésima derivada é calculada derivando f(x) n vezes.

A derivada n é igual à derivada da derivada (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Exemplo:

Encontre a quarta derivada de

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivada no gráfico da função

A derivada de uma função é a inclinação da reta tangencial.

Regras derivadas

Regra da soma derivada

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Regra do produto derivado

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regra do quociente derivada \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
regra da cadeia derivada

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Regra da soma derivada

Quando a e b são constantes.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Exemplo:

Encontre a derivada de:

3 x 2 + 4 x.

Pela regra da soma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Regra do produto derivado

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regra do quociente derivada

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

regra da cadeia derivada

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Esta regra pode ser melhor compreendida com a notação de Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Função de aproximação linear

Para Δx pequeno, podemos obter uma aproximação para f(x 0 +Δx), quando conhecemos f(x 0 ) ef '(x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabela de derivadas de funções

Nome da função Função Derivado

f (x)

 f '( x )
Constante

const

0
Linear

x

1
Poder

x a

a x a-1
Exponencial

e x

e x
Exponencial

a x

a x ln a
Logaritmo natural

ln(x)

Logaritmo

logb(x)

Seno

sin x

cos x
cosseno

cos x

-sin x
Tangente

tan x

arco-seno

arcsin x

arcoseno

arccos x

arco tangente

arctan x
seno hiperbólico

sinh x

cosh x
cosseno hiperbólico

cosh x

sinh x
tangente hiperbólica

tanh x

Seno hiperbólico inverso

sinh-1 x

Cosseno hiperbólico inverso

cosh-1 x

Tangente hiperbólica inversa

tanh-1 x

Exemplos de derivadas

Exemplo 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Exemplo #2

f (x) = sin(3x2)

Ao aplicar a regra da cadeia:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Teste da segunda derivada

Quando a primeira derivada de uma função é zero no ponto x 0 .

f '(x0) = 0

Então a segunda derivada no ponto x 0 , f''(x 0 ), pode indicar o tipo desse ponto:

 

f ''(x0) > 0

 mínimo local

f ''(x0) < 0

 máximo local

f ''(x0) = 0

 indeterminado

 

Veja também

Advertising

CÁLCULO
°• CmtoInchesConvert.com •°