ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ

ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਟੇਬਲ
ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਲੈਪਲੇਸ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ

ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਏਕੀਕਰਣ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਟਾਈਮ ਡੋਮੇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ s-ਡੋਮੇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ

ਟਾਈਮ ਡੋਮੇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ, e ^-st ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।

ਲੈਪਲੇਸ ਟਰਾਂਸਫਾਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਟਾਈਮ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਨੂੰ s-ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ s ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟਾਈਮ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕਰਣ s-ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ s ਦੁਆਰਾ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਨੂੰ L {} ਆਪਰੇਟਰ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

ਉਲਟ ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ

ਉਲਟ ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸਿੱਧੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਲਟ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਟੇਬਲ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਮ	ਟਾਈਮ ਡੋਮੇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ	ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਮ	f (t)	F(s) = L{f (t)}
ਨਿਰੰਤਰ	1	$frac{1}{s}$
ਰੇਖਿਕ	ਟੀ	$\frac{1}{s^2}$
ਤਾਕਤ	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
ਤਾਕਤ	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
ਘਾਤਕ	e^at	$frac{1}{sa}$
ਸਾਈਨ	sin at	$frac{a}{s^2+a^2}$
ਕੋਸਾਈਨ	cos at	$frac{s}{s^2+a^2}$
ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਾਈਨ	sinh at	$frac{a}{s^2-a^2}$
ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕੋਸਾਈਨ	cosh at	$frac{s}{s^2-a^2}$
ਵਧ ਰਹੀ ਸਾਇਨ	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
ਵਧ ਰਹੀ ਕੋਸਾਈਨ	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
ਸੜਨ ਵਾਲੀ ਸਾਇਨ	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ਸੜਨ ਵਾਲਾ ਕੋਸਾਈਨ	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\ਖੱਬੇ ( s+a \ਸੱਜੇ )^2+\omega ^2}$
ਡੈਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ	δ(t)	1
ਦੇਰੀ ਵਾਲਾ ਡੈਲਟਾ	δ(t-a)	e^-as

ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਜਾਇਦਾਦ ਦਾ ਨਾਮ	ਟਾਈਮ ਡੋਮੇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ	ਲੈਪਲੇਸ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ	ਟਿੱਪਣੀ
	f (t)	F(s)
ਰੇਖਿਕਤਾ	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b ਸਥਿਰ ਹਨ
ਸਕੇਲ ਤਬਦੀਲੀ	f ( 'ਤੇ )	$\frac{1}{a}F\ਖੱਬੇ (\frac{s}{a} \ਸੱਜੇ )$	a > 0
ਸ਼ਿਫਟ	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
ਦੇਰੀ	f ( ta )	e ^-F ( s ) ਦੇ ^{ਰੂਪ ਵਿੱਚ}
ਵਿਉਤਪੱਤੀ	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
ਤਾਕਤ	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
ਏਕੀਕਰਣ	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$frac{1}{s}F(s)$
ਪਰਸਪਰ	$frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
ਕਨਵੋਲਿਊਸ਼ਨ	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* ਕੰਵੋਲਿਊਸ਼ਨ ਆਪਰੇਟਰ ਹੈ
ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

ਲੈਪਲੇਸ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ

ਉਦਾਹਰਨ #1

f(t) ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲੱਭੋ:

f (t) = 3t + 2t²

ਦਾ ਹੱਲ:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

ਉਦਾਹਰਨ #2

F(s) ਦਾ ਉਲਟਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲੱਭੋ:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

ਦਾ ਹੱਲ:

ਉਲਟ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ s ਡੋਮੇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a ਅਤੇ b ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 2 ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ - ਇੱਕ s ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਦਾ ਦੂਜਾ:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

ਹੁਣ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ F(s) ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t