Laplace Transform

Laplace transformasjonsfunksjon
Laplace transformasjonsbord
Laplace transformasjonsegenskaper
Eksempler på Laplace-transformasjon

Laplace transform konverterer en tidsdomenefunksjon til s-domenefunksjon ved integrasjon fra null til uendelig

av tidsdomenefunksjonen, multiplisert med e ^-st .

Laplace-transformasjonen brukes til raskt å finne løsninger for differensialligninger og integraler.

Derivasjon i tidsdomenet transformeres til multiplikasjon med s i s-domenet.

Integrasjon i tidsdomenet transformeres til divisjon med s i s-domenet.

Laplace transformasjonsfunksjon

Laplace-transformasjonen er definert med L {}-operatoren:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Invers Laplace-transformasjon

Den inverse Laplace-transformen kan beregnes direkte.

Vanligvis er den inverse transformasjonen gitt fra transformasjonstabellen.

Laplace transformasjonsbord

Funksjonsnavn	Tidsdomenefunksjon	Laplace transformasjon
Funksjonsnavn	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Konstant	1	$\frac{1}{s}$
Lineær	t	$\frac{1}{s^2}$
Makt	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Makt	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Eksponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Cosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolsk sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolsk cosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Voksende sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Voksende cosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Rånende sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\venstre ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Rånende cosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\venstre ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funksjon	δ(t)	1
Forsinket delta	δ(t-a)	e^-as

Laplace transformasjonsegenskaper

Eiendomsnavn	Tidsdomenefunksjon	Laplace transformasjon	Kommentar
	f (t)	F(s)
Linearitet	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b er konstante
Skalaendring	f ( kl )	$\frac{1}{a}F\venstre ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Skifte	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Forsinkelse	f ( ta )	e ^{- som} F ( e )
Derivasjon	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-te avledning	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Makt	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integrering	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Gjensidig	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolusjon	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* er konvolusjonsoperatøren
Periodisk funksjon	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Eksempler på Laplace-transformasjon

Eksempel #1

Finn transformasjonen av f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Løsning:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Eksempel #2

Finn den inverse transformasjonen av F(er):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Løsning:

For å finne den inverse transformasjonen, må vi endre s-domenefunksjonen til en enklere form:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

For å finne a og b får vi 2 ligninger - en av s-koeffisientene og den andre av resten:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Nå kan F(er) enkelt transformeres ved å bruke transformasjonstabellen for eksponentfunksjon:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t