Konvolusjon

Konvolusjon er korrelasjonsfunksjonen til f(τ) med den reverserte funksjonen g(t-τ).

Konvolusjonsoperatoren er stjernesymbolet * .

Konvolusjonen av f(t) og g(t) er lik integralet av f(τ) ganger f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Konvolusjon av 2 diskrete funksjoner er definert som:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

2-dimensjonal diskret konvolusjon brukes vanligvis til bildebehandling.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Vi kan filtrere det diskrete inngangssignalet x(n) ved konvolusjon med impulsresponsen h(n) for å få utgangssignalet y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Fourier-transformasjonen av en multiplikasjon av 2 funksjoner er lik konvolusjonen av Fourier-transformasjonene til hver funksjon:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Fourier-transformasjonen av en konvolusjon av 2 funksjoner er lik multiplikasjonen av Fourier-transformasjonene til hver funksjon:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Se også