Avledede regler

Avledede regler og lover.Tabell med derivater av funksjoner.

• Derivatdefinisjon
• Avledede regler
• Tabell med derivater av funksjoner
• Avledede eksempler

Derivatdefinisjon

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom forskjellen mellom funksjonsverdi f(x) i punktene x+Δx og x med Δx, når Δx er uendelig liten.Den deriverte er funksjonens helning eller helning til tangentlinjen i punkt x.

 

Andre derivat

Den andre deriverte er gitt av:

Eller ganske enkelt utlede den første deriverte:

Nte derivat

Den n'te deriverte beregnes ved å utlede f(x) n ganger.

Den n'te deriverte er lik den deriverte av (n-1) deriverte:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

Eksempel:

Finn den fjerde deriverte av

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

Deriverte på grafen av funksjonen

Den deriverte av en funksjon er stigningen til tangentiallinjen.

Avledede regler

Avledet sumregel	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Avledet produktregel	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Derivativ kvotientregel
Avledet kjederegel	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Avledet sumregel

Når a og b er konstanter.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Eksempel:

Finn den deriverte av:

3 x ² + 4 x.

I følge sumregelen:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Avledet produktregel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Derivativ kvotientregel

Avledet kjederegel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Denne regelen kan forstås bedre med Lagranges notasjon:

Funksjon lineær tilnærming

For liten Δx kan vi få en tilnærming til f(x ₀ +Δx), når vi vet f(x ₀ ) og f ' (x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

Tabell med derivater av funksjoner

Funksjonsnavn	Funksjon	Derivat
	f (x)	f '( x )
Konstant	const	0
Lineær	x	1
Makt	x a	a x a-1
Eksponentiell	e x	e x
Eksponentiell	a x	a x ln a
Naturlig logaritme	ln(x)
Logaritme	logb(x)
Sinus	sin x	cos x
Cosinus	cos x	-sin x
Tangent	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangens	arctan x
Hyperbolsk sinus	sinh x	cosh x
Hyperbolsk cosinus	cosh x	sinh x
Hyperbolsk tangent	tanh x
Invers hyperbolsk sinus	sinh-1 x
Invers hyperbolsk cosinus	cosh-1 x
Invers hyperbolsk tangent	tanh-1 x

Avledede eksempler

Eksempel #1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

Eksempel #2

f (x) = sin(3x²)

Når du bruker kjederegelen:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

Andre derivattest

Når den første deriverte av en funksjon er null i punktet x ₀ .

f '(x₀) = 0

Da kan den andre deriverte ved punkt x ₀ , f''(x ₀ ), indikere typen av det punktet:

 

f ''(x0) > 0	lokalt minimum
f ''(x0) < 0	lokalt maksimum
f ''(x0) = 0	ubestemt

 

---

Se også

• Regning
• Laplace-transformasjon ( ℒ  )
• Regningssymboler