Transformasi Laplace

Fungsi transformasi Laplace
Jadual transformasi Laplace
Sifat transformasi Laplace
Contoh transformasi Laplace

Transformasi Laplace menukar fungsi domain masa kepada fungsi domain-s dengan penyepaduan daripada sifar kepada infiniti

daripada fungsi domain masa, didarab dengan e ^-st .

Transformasi Laplace digunakan untuk mencari penyelesaian bagi persamaan pembezaan dan kamiran dengan cepat.

Terbitan dalam domain masa diubah kepada pendaraban dengan s dalam domain s.

Penyepaduan dalam domain masa diubah kepada pembahagian dengan s dalam domain s.

Fungsi transformasi Laplace

Transformasi Laplace ditakrifkan dengan operator L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Transformasi Laplace songsang

Transformasi Laplace songsang boleh dikira secara langsung.

Biasanya penjelmaan songsang diberikan daripada jadual penjelmaan.

Jadual transformasi Laplace

Nama fungsi	Fungsi domain masa	Transformasi Laplace
Nama fungsi	f (t)	F(s) = L{f (t)}
berterusan	1	$\frac{1}{s}$
Linear	t	$\frac{1}{s^2}$
Kuasa	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Kuasa	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Eksponen	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
kosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
sinus hiperbolik	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Kosinus hiperbolik	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Sinus yang berkembang	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Kosinus yang semakin meningkat	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
sinus mereput	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\kiri ( s+a \kanan )^2+\omega ^2}$
Kosinus mereput	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\kiri ( s+a \kanan )^2+\omega ^2}$
Fungsi delta	δ(t)	1
Delta tertunda	δ(t-a)	e^-as

Sifat transformasi Laplace

Nama harta	Fungsi domain masa	Transformasi Laplace	Komen
	f (t)	F(s)
Kelinearan	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b adalah malar
Perubahan skala	f ( pada )	$\frac{1}{a}F\kiri ( \frac{s}{a} \kanan )$	a >0
Beralih	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
kelewatan	f ( ta )	e ^{- sebagai} F ( s )
Terbitan	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
Terbitan ke-N	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Kuasa	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integrasi	$\int__{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Timbal balik	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolusi	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* ialah pengendali lilitan
Fungsi berkala	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Contoh transformasi Laplace

Contoh #1

Cari penjelmaan bagi f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Penyelesaian:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Contoh #2

Cari penjelmaan songsang bagi F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Penyelesaian:

Untuk mencari penjelmaan songsang, kita perlu menukar fungsi domain s kepada bentuk yang lebih mudah:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Untuk mencari a dan b, kita mendapat 2 persamaan - satu daripada pekali s dan kedua daripada yang lain:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Sekarang F(s) boleh diubah dengan mudah dengan menggunakan jadual transformasi untuk fungsi eksponen:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t