ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന പ്രവർത്തനം
ലാപ്ലേസ് രൂപാന്തര പട്ടിക
ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന ഗുണങ്ങൾ
ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന ഉദാഹരണങ്ങൾ

പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് അനന്തതയിലേക്കുള്ള സംയോജനത്തിലൂടെ ലാപ്ലേസ് ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഒരു ടൈം ഡൊമെയ്ൻ ഫംഗ്ഷനെ s-ഡൊമെയ്ൻ ഫംഗ്ഷനാക്കി മാറ്റുന്നു.

സമയ ഡൊമെയ്‌ൻ ഫംഗ്‌ഷന്റെ, e - ^st കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾക്കും ഇന്റഗ്രലുകൾക്കും പെട്ടെന്ന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സമയ ഡൊമെയ്‌നിലെ വ്യുൽപ്പന്നം s-ഡൊമെയ്‌നിലെ s കൊണ്ട് ഗുണനത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

സമയ ഡൊമെയ്‌നിലെ സംയോജനം s-ഡൊമെയ്‌നിലെ s കൊണ്ട് ഡിവിഷനിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന പ്രവർത്തനം

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് L {} ഓപ്പറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ചാണ്:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

വിപരീത ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം

വിപരീത ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം നേരിട്ട് കണക്കാക്കാം.

സാധാരണയായി വിപരീത പരിവർത്തനം ട്രാൻസ്ഫോർമസ് പട്ടികയിൽ നിന്നാണ് നൽകുന്നത്.

ലാപ്ലേസ് രൂപാന്തര പട്ടിക

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പേര്	സമയ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനം	ലാപ്ലേസ് രൂപാന്തരം
പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പേര്	f (t)	F(s) = L{f (t)}
സ്ഥിരമായ	1	$\frac{1}{s}$
ലീനിയർ	ടി	$\frac{1}{s^2}$
ശക്തി	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
ശക്തി	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
എക്സ്പോണന്റ്	e^at	$\frac{1}{sa}$
സൈൻ	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
കോസൈൻ	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
ഹൈപ്പർബോളിക് സൈൻ	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈൻ	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
വളരുന്ന സൈൻ	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
വളരുന്ന കൊസൈൻ	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
നശിക്കുന്ന സൈൻ	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\ഇടത് (s+a \right )^2+\omega ^2}$
നശിക്കുന്ന കോസൈൻ	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\ഇടത് (s+a \വലത്)^2+\ഒമേഗ ^2}$
ഡെൽറ്റ പ്രവർത്തനം	δ(t)	1
കാലതാമസം നേരിട്ട ഡെൽറ്റ	δ(t-a)	e^-as

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന ഗുണങ്ങൾ

വസ്തുവിന്റെ പേര്	സമയ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനം	ലാപ്ലേസ് രൂപാന്തരം	അഭിപ്രായം
	f (t)	F(s)
രേഖീയത	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b സ്ഥിരമാണ്
സ്കെയിൽ മാറ്റം	f ( at )	$\frac{1}{a}F\ഇടത് ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
ഷിഫ്റ്റ്	e- ^at f ( t )	F ( s + a )
കാലതാമസം	f ( ta )	ഇ ^-എഫ് ( കൾ )^ആയി
ഉത്ഭവം	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th derivation	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
ശക്തി	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
സംയോജനം	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(കൾ)$
പരസ്പരമുള്ള	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
കൺവ്യൂഷൻ	f ( t ) * g ( t )	എഫ് ( കൾ ) ⋅ ജി ( കൾ )	* കൺവ്യൂഷൻ ഓപ്പറേറ്ററാണ്
ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം #1

f(t)യുടെ രൂപമാറ്റം കണ്ടെത്തുക:

f (t) = 3t + 2t²

പരിഹാരം:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

ഉദാഹരണം #2

F(കളുടെ) വിപരീത പരിവർത്തനം കണ്ടെത്തുക:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

പരിഹാരം:

വിപരീത പരിവർത്തനം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ s ഡൊമെയ്ൻ ഫംഗ്ഷൻ ലളിതമായ ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a, b എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നമുക്ക് 2 സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും - s ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന്, ബാക്കിയുള്ളതിൽ രണ്ടാമത്തേത്:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഫംഗ്‌ഷനുവേണ്ടി ട്രാൻസ്‌ഫോംസ് ടേബിൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇപ്പോൾ എഫ്(കൾ) എളുപ്പത്തിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t