Laplaso transformacija

Laplaso transformacijos funkcija
Laplaso transformacijos stalas
Laplaso transformacijos savybės
Laplaso transformacijos pavyzdžiai

Laplaso transformacija konvertuoja laiko srities funkciją į s domeno funkciją integruodama nuo nulio iki begalybės

laiko srities funkcijos, padaugintos iš e ^-st .

Laplaso transformacija naudojama norint greitai rasti diferencialinių lygčių ir integralų sprendimus.

Išvedimas laiko srityje paverčiamas daugyba iš s s srityje.

Integracija laiko srityje transformuojama į padalijimą iš s s srityje.

Laplaso transformacijos funkcija

Laplaso transformacija apibrėžiama naudojant operatorių L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Atvirkštinė Laplaso transformacija

Atvirkštinę Laplaso transformaciją galima apskaičiuoti tiesiogiai.

Paprastai atvirkštinė transformacija pateikiama iš transformacijų lentelės.

Laplaso transformacijos stalas

Funkcijos pavadinimas	Laiko srities funkcija	Laplaso transformacija
Funkcijos pavadinimas	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Pastovus	1	$\frac{1}{s}$
Linijinis	t	$\frac{1}{s^2}$
Galia	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Galia	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Rodiklis	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sine	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinusas	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hiperbolinis sinusas	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hiperbolinis kosinusas	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Augantis sinusas	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Augantis kosinusas	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Irimo sinusas	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Irstantis kosinusas	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funkcija	δ(t)	1
Uždelsta delta	δ(t-a)	e^-as

Laplaso transformacijos savybės

Nuosavybės pavadinimas	Laiko srities funkcija	Laplaso transformacija	komentuoti
	f (t)	F(s)
Tiesiškumas	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b yra pastovūs
Mastelio keitimas	f ( at )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a > 0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Delsimas	f ( ta )	e ^{- kaip} F ( s )
Išvestinė	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) – f (0)
N-tas darinys	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Galia	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integracija	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(-ai)$
Abipusis	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvoliucija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* yra konvoliucijos operatorius
Periodinė funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Laplaso transformacijos pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite f(t) transformaciją:

f (t) = 3t + 2t²

Sprendimas:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

2 pavyzdys

Raskite atvirkštinę F(-ių) transformaciją:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Sprendimas:

Norėdami rasti atvirkštinę transformaciją, turime pakeisti s domeno funkciją į paprastesnę formą:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Norėdami rasti a ir b, gauname 2 lygtis - vieną iš s koeficientų ir antrą iš likusių:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Dabar F(-us) galima lengvai transformuoti naudojant eksponentų funkcijos transformacijų lentelę:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t