Išvestinės taisyklės

Išvestinės taisyklės ir dėsniai.Funkcijų lentelės išvestiniai.

Išvestinis apibrėžimas

Funkcijos išvestinė yra funkcijos reikšmės f(x) skirtumo taškuose x+Δx ir x santykis su Δx, kai Δx yra be galo mažas.Išvestinė yra funkcijos nuolydis arba liestinės linijos nuolydis taške x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Antrasis darinys

Antroji išvestinė pateikiama taip:

Arba tiesiog išveskite pirmąjį išvestinį:

f''(x)=(f'(x))'

N-oji išvestinė

N - ojiišvestinė apskaičiuojama išvedant f(x) n kartų.

N - ojiišvestinė yra lygi (n-1) išvestinei:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Pavyzdys:

Raskite ketvirtąją išvestinę iš

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]'''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Funkcijos grafiko išvestinė

Funkcijos išvestinė yra liestinės linijos nuolydis.

Išvestinės taisyklės

Išvestinės sumos taisyklė

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Išvestinio produkto taisyklė

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Išvestinio koeficiento taisyklė \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Išvestinės grandinės taisyklė

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Išvestinės sumos taisyklė

Kai a ir b yra konstantos.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Pavyzdys:

Raskite išvestinę iš:

3 x 2 + 4 x.

Pagal sumos taisyklę:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Išvestinio produkto taisyklė

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Išvestinio koeficiento taisyklė

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Išvestinės grandinės taisyklė

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Šią taisyklę galima geriau suprasti Lagrange'o užrašu:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funkcijos tiesinis aproksimacija

Esant mažam Δx, mes galime gauti apytikslę f(x 0 + Δx), kai žinome f(x 0 ) ir f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Funkcijų lentelės išvestiniai

Funkcijos pavadinimas Funkcija Darinys

f (x)

 f '( x )
Pastovus

const

0
Linijinis

x

1
Galia

x a

a x a-1
Eksponentinis

e x

e x
Eksponentinis

a x

a x ln a
Natūralus logaritmas

ln(x)

Logaritmas

logb(x)

Sine

sin x

cos x
Kosinusas

cos x

-sin x
Tangentas

tan x

Arcsine

arcsin x

Arkosinas

arccos x

Arktangentas

arctan x
Hiperbolinis sinusas

sinh x

cosh x
Hiperbolinis kosinusas

cosh x

sinh x
Hiperbolinė tangentė

tanh x

Atvirkštinis hiperbolinis sinusas

sinh-1 x

Atvirkštinis hiperbolinis kosinusas

cosh-1 x

Atvirkštinė hiperbolinė tangentė

tanh-1 x

Išvestiniai pavyzdžiai

1 pavyzdys

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

2 pavyzdys

f (x) = sin(3x2)

Taikant grandinės taisyklę:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Antrasis išvestinis testas

Kai taške x 0 pirmoji funkcijos išvestinė lygi nuliui .

f '(x0) = 0

Tada antroji išvestinė taške x 0 , f''(x 0 ), gali nurodyti to taško tipą:

 

f ''(x0) > 0

 vietinis minimumas

f ''(x0) < 0

 vietinis maksimumas

f ''(x0) = 0

 neapibrėžtas

 

Taip pat žr

Advertising

SKALIUS
°• CmtoInchesConvert.com •°