라플라스 변환

라플라스 변환 함수
라플라스 변환 테이블
라플라스 변환 속성
라플라스 변환 예

라플라스 변환은 0에서 무한대로 적분하여 시간 영역 함수를 s 영역 함수로 변환합니다.

e ^-st 를 곱한 시간 도메인 함수의

라플라스 변환은 미분 방정식 및 적분에 대한 솔루션을 신속하게 찾는 데 사용됩니다.

시간 영역에서의 유도는 s-영역에서 s에 의한 곱셈으로 변환됩니다.

시간 영역에서의 통합은 s-영역에서 s로 나누기로 변환됩니다.

라플라스 변환 함수

라플라스 변환은 L {} 연산자로 정의됩니다.

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

역 라플라스 변환

역 라플라스 변환은 직접 계산할 수 있습니다.

일반적으로 역 변환은 변환 테이블에서 제공됩니다.

라플라스 변환 테이블

함수 이름	시간 도메인 기능	라플라스 변환
함수 이름	f (t)	F(s) = L{f (t)}
끊임없는	1	$\frac{1}{s}$
선의	티	$\frac{1}{s^2}$
힘	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
힘	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
멱지수	e^at	$\frac{1}{sa}$
사인	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
코사인	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
쌍곡사인	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
쌍곡코사인	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
성장하는 사인	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
성장하는 코사인	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
감소하는 사인	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
쇠퇴하는 코사인	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
델타 함수	δ(t)	1
지연 델타	δ(t-a)	e^-as

라플라스 변환 속성

속성 이름	시간 도메인 기능	라플라스 변환	논평
	f (t)	F(s)
선형성	af ( 티 )+ bg ( 티 )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b 는 일정하다
스케일 변경	에프 ( 에서 )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	> 0
옮기다	e ^- 에 f ( 티 )	에프 ( 에스 + 에이 )
지연	에프 ( 타 )	e ^-F ( 초 )^_
유도	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - 에프 (0)
N차 유도	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	snf(s )-sn - 1f (⁰⁾ -sn -2f '(0)-...-^f⁽n -¹⁾⁽ 0⁾
힘	^티엔 에프 (티 ) _	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
완성	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(들)$
역수	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
회선	에프 ( 티 ) * 지 ( 티 )	에프 ( 에스 )· 지 ( 에스 )	*는 컨볼루션 연산자입니다.
주기 함수	에프 ( 티 )=에프 ( 티 + 티 )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

라플라스 변환 예

예 #1

f(t)의 변환 찾기:

f (t) = 3t + 2t²

해결책:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

예 #2

F(s)의 역 변환을 찾습니다.

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

해결책:

역 변환을 찾으려면 s 도메인 함수를 더 간단한 형식으로 변경해야 합니다.

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a와 b를 찾기 위해 s 계수 중 하나와 나머지 중 두 번째 방정식인 2개의 방정식을 얻습니다.

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

이제 지수 함수에 대한 변환 테이블을 사용하여 F(s)를 쉽게 변환할 수 있습니다.

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t