파생 규칙
파생 규칙 및 법률.함수 테이블의 미분.
미분 정의
함수의 도함수는 Δx가 극미소일 때 점 x+Δx와 x와 Δx에서의 함수 값 f(x)의 차이의 비율입니다.도함수는 점 x에서 접선의 함수 기울기 또는 기울기입니다.
2차 미분
2차 도함수는 다음과 같습니다.
또는 단순히 첫 번째 도함수를 도출합니다.
N차 미분
n 차 도함수 는f(x)를 n번 유도하여 계산됩니다.
n 차 도함수는 (n-1) 도함수의 도함수와 같습니다.
f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'
예:
의 네 번째 도함수 찾기
에프 ( 엑스 ) = 2 × 5
f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x
함수 그래프의 도함수
함수의 도함수는 접선의 기울기입니다.
파생 규칙
| 미분합 규칙 |
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x) |
| 파생 상품 규칙 |
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x) |
| 미분 몫 규칙 |
 |
| 파생 체인 규칙 |
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x) |
미분합 규칙
a 와 b 가 상수 일때 .
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
예:
다음의 파생물을 찾으십시오.
3 × 2 + 4 ×.
합계 규칙에 따르면:
a = 3, b = 4
f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x
f' ( x ) = 2x , g' ( x ) = 1
(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4
파생 상품 규칙
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
미분 몫 규칙
파생 체인 규칙
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)
이 규칙은 Lagrange의 표기법으로 더 잘 이해할 수 있습니다.
함수 선형 근사
작은 Δx의 경우 f(x 0 ) 및 f ' (x0 ) 를 알고 있을 때 f(x 0 +Δx)에 대한 근사치를 얻을 수 있습니다.
f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx
함수 테이블의 도함수
| 함수 이름 | 기능 | 유도체 |
|---|---|---|
|
f (x) |
에프 '( 엑스 ) | |
| 끊임없는 |
const |
0 |
| 선의 |
x |
1 |
| 힘 |
x a |
a x a-1 |
| 지수 |
e x |
e x |
| 지수 |
a x |
a x ln a |
| 자연로그 |
ln(x) |
|
| 로그 |
logb(x) |
|
| 사인 |
sin x |
cos x |
| 코사인 |
cos x |
-sin x |
| 접선 |
tan x |
|
| 아크사인 |
arcsin x |
|
| 아크코사인 |
arccos x |
|
| 아크탄젠트 |
arctan x |
 |
| 쌍곡사인 |
sinh x |
cosh x |
| 쌍곡코사인 |
cosh x |
sinh x |
| 하이퍼볼릭 탄젠트 |
tanh x |
|
| 역쌍곡사인 |
sinh-1 x |
|
| 역 하이퍼볼릭 코사인 |
cosh-1 x |
|
| 역 하이퍼볼릭 탄젠트 |
tanh-1 x |
|
미분 예
예 #1
f (x) = x3+5x2+x+8
f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1
예 #2
f (x) = sin(3x2)
체인 규칙을 적용할 때:
f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x
2차 미분 테스트
함수의 1차 도함수가 점 x 0 에서 0일 때 .
f '(x0) = 0
그런 다음 점 x 0 에서 2차 도함수f''(x 0 )는 해당 점의 유형을 나타낼 수 있습니다.
|
f ''(x0) > 0 |
지역 최소값 |
|
f ''(x0) < 0 |
로컬 최대 |
|
f ''(x0) = 0 |
분명치 않은 |