ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಟೇಬಲ್
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಟೈಮ್ ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು s-ಡೊಮೈನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ

ಸಮಯದ ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು e - ^st ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಯದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು s-ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ s ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಏಕೀಕರಣವು s-ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ s ನಿಂದ ವಿಭಜನೆಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಕಾರ್ಯ

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು L {} ಆಪರೇಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

ವಿಲೋಮ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ

ವಿಲೋಮ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಟೇಬಲ್

ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರು	ಟೈಮ್ ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯ	ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ
ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರು	f (t)	F(s) = L{f (t)}
ನಿರಂತರ	1	$\frac{1}{s}$
ರೇಖೀಯ	ಟಿ	$\frac{1}{s^2}$
ಶಕ್ತಿ	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
ಶಕ್ತಿ	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
ಘಾತ	e^at	$\frac{1}{sa}$
ಸೈನ್	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
ಕೊಸೈನ್	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಸೈನ್	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಕೊಸೈನ್	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
ಕೊಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಸೈನ್	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
ಕೊಸೈನ್ ಕೊಸೈನ್	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ	δ(t)	1
ತಡವಾದ ಡೆಲ್ಟಾ	δ(t-a)	e^-as

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಆಸ್ತಿ ಹೆಸರು	ಟೈಮ್ ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯ	ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ	ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ
	f (t)	F(s)
ಲೀನಿಯರಿಟಿ	ಎಎಫ್ ( ಟಿ )+ ಬಿಜಿ ( ಟಿ )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಸ್ಕೇಲ್ ಬದಲಾವಣೆ	f ( ನಲ್ಲಿ )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
ಶಿಫ್ಟ್	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
ವಿಳಂಬ	ಎಫ್ ( ಟಾ )	ಇ ^-ಎಫ್ ( ಗಳು )^ಆಗಿ
ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ನೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
ಶಕ್ತಿ	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
ಏಕೀಕರಣ	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(ಗಳು)$
ಪರಸ್ಪರ	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್	ಎಫ್ ( ಟಿ ) * ಜಿ ( ಟಿ )	ಎಫ್ ( ಗಳು ) ⋅ ಜಿ ( ಗಳು )	* ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ
ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯ	ಎಫ್ ( ಟಿ ) = ಎಫ್ ( ಟಿ + ಟಿ )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ #1

ಎಫ್ (ಟಿ) ನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

f (t) = 3t + 2t²

ಪರಿಹಾರ:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

ಉದಾಹರಣೆ #2

ಎಫ್ (ಗಳ) ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

ಪರಿಹಾರ:

ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು s ಡೊಮೇನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು 2 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - s ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

ಘಾತಾಂಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈಗ F(ಗಳು) ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t