ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮಗಳು

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾನೂನುಗಳು.ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು Δx ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ x+Δx ಮತ್ತು x ನೊಂದಿಗೆ x ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯ f(x) ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ

ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇವರಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ:

f''(x)=(f'(x))'

Nth ಉತ್ಪನ್ನ

n ನೇವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು f(x) n ಬಾರಿ ಪಡೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

n ನೇಉತ್ಪನ್ನವು (n-1) ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

ಉದಾಹರಣೆ:

ನ ನಾಲ್ಕನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮಗಳು

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮ

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಂಶ ನಿಯಮ \ಎಡ ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( X)}
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸರಣಿ ನಿಯಮ

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮ

a ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರವಾದಾಗ.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

ಉದಾಹರಣೆ:

ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

3 x 2 + 4 x.

ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g ' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಂಶ ನಿಯಮ

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸರಣಿ ನಿಯಮ

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್‌ನ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

ಕಾರ್ಯ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು

ಸಣ್ಣ Δx ಗಾಗಿ, ನಾವು f(x 0 +Δx)ಗೆ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಬಹುದು , ನಮಗೆ f(x 0 ) ಮತ್ತು f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರು ಕಾರ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

f (x)

 f '( x )
ನಿರಂತರ

const

0
ರೇಖೀಯ

x

1
ಶಕ್ತಿ

x a

a x a-1
ಘಾತೀಯ

e x

e x
ಘಾತೀಯ

a x

a x ln a
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್

ln(x)

ಲಾಗರಿಥಮ್

logb(x)

ಸೈನ್

sin x

cos x
ಕೊಸೈನ್

cos x

-sin x
ಸ್ಪರ್ಶಕ

tan x

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್

arcsin x

ಆರ್ಕೋಸಿನ್

arccos x

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್

arctan x
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್

sinh x

cosh x
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್

cosh x

sinh x
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ

tanh x

ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್

sinh-1 x

ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್

cosh-1 x

ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ

tanh-1 x

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

ಉದಾಹರಣೆ #2

f (x) = sin(3x2)

ಸರಣಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ .

f '(x0) = 0

ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 , f''(x 0 ) ನಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

 

f ''(x0) > 0

 ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ

f ''(x0) < 0

 ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ

f ''(x0) = 0

 ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

 

ಸಹ ನೋಡಿ

Advertising

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್
°• CmtoInchesConvert.com •°