Laplace Transform

Laplace umbreytingaraðgerð
Laplace umbreytingarborð
Laplace umbreytingareiginleikar
Laplace umbreytingardæmi

Laplace umbreyting breytir tímalénsfalli í s-lénsfall með samþættingu frá núlli í óendanlegt

tímalénsfallsins , margfaldað með e ^-st .

Laplace umbreytingin er notuð til að finna fljótt lausnir fyrir diffurjöfnur og heiltölur.

Afleiðsla í tímasviðinu er umbreytt í margföldun með s í s-léninu.

Samþætting í tímasviðinu er umbreytt í skiptingu með s í s-léninu.

Laplace umbreytingaraðgerð

Laplace umbreytingin er skilgreind með L {} rekstraraðilanum:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Öfug Laplace umbreyting

Hægt er að reikna öfuga Laplace umbreytingu beint.

Venjulega er andhverfa umbreytingin gefin upp úr umbreytingartöflunni.

Laplace umbreytingarborð

Heiti aðgerða	Tímalensaðgerð	Laplace umbreyting
Heiti aðgerða	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Stöðugt	1	$\frac{1}{s}$
Línuleg	t	$\frac{1}{s^2}$
Kraftur	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Kraftur	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sínus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kósínus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolic sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolic kósín	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Vaxandi sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Vaxandi kósínus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Rotnandi sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Rotnandi kósínus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left (s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta virka	δ(t)	1
Seinkað delta	δ(t-a)	e^-as

Laplace umbreytingareiginleikar

Heiti eignar	Tímalensaðgerð	Laplace umbreyting	Athugasemd
	f (t)	F(s)
Línulegleiki	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s )+ bG ( s )	a , b eru stöðugir
Umfangsbreyting	f ( kl )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Töf	f ( ta )	e ^{- sem} F ( s )
Afleiðsla	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ta afleiðslu	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Kraftur	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Samþætting	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Gagnkvæmt	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Convolution	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* er snúningsoperator
Reglubundin virkni	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Laplace umbreytingardæmi

Dæmi #1

Finndu umbreytingu f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Lausn:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Dæmi #2

Finndu andhverfu umbreytingu F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Lausn:

Til þess að finna andhverfu umbreytinguna þurfum við að breyta s lénsfallinu í einfaldara form:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Til að finna a og b fáum við 2 jöfnur - einn af s-stuðlunum og annar af hinum:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Nú er hægt að umbreyta F(um) auðveldlega með því að nota umbreytingartöfluna fyrir veldisfall:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t