Afleiddar reglur

Afleiddar reglur og lög. Tafla með afleiður falla.

Afleidd skilgreining

Afleiða falls er hlutfall mismunar fallgildis f(x) í punktum x+Δx og x með Δx, þegar Δx er óendanlega lítið. Afleiðan er fallhalli eða halli snertilínu í punkti x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Önnur afleiða

Önnur afleiðan er gefin af:

Eða einfaldlega leiða fyrstu afleiðuna:

f''(x)=(f'(x))'

Nth afleiða

N. afleiðan er reiknuð út með því að leiða f(x) n sinnum .

N. afleiðan er jöfn afleiðu (n-1) afleiðunnar :

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Dæmi:

Finndu fjórðu afleiðu af

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Afleiða á grafi falls

Afleiða falls er halli snertilínunnar.

Afleiddar reglur

Afleiðu summa regla

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Afleidd vararegla

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regla um afleiðuhlutfall \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Afleidd keðjuregla

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Afleiðu summa regla

Þegar a og b eru fastar.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Dæmi:

Finndu afleiðu af:

3 x 2 + 4 x.

Samkvæmt summureglunni:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g ' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Afleidd vararegla

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regla um afleiðuhlutfall

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Afleidd keðjuregla

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Þessa reglu er hægt að skilja betur með túlkun Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Virka línuleg nálgun

Fyrir lítinn Δx getum við fengið nálgun á f(x 0 +Δx), þegar við vitum f(x 0 ) og f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tafla með afleiður falla

Heiti aðgerða Virka Afleiða

f (x)

 f '( x )
Stöðugt

const

0
Línuleg

x

1
Kraftur

x a

a x a-1
veldisvísis

e x

e x
veldisvísis

a x

a x ln a
Náttúrulegur logaritmi

ln(x)

Logaritmi

logb(x)

Sínus

sin x

cos x
Kósínus

cos x

-sin x
Tangent

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arctangent

arctan x
Hyperbolic sinus

sinh x

cosh x
Hyperbolic kósín

cosh x

sinh x
Hyperbolic tangent

tanh x

Andhverft sinus með háum boli

sinh-1 x

Andhverft ofurbólukósín

cosh-1 x

Andhverfur hyperbolic tangens

tanh-1 x

Afleidd dæmi

Dæmi #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Dæmi #2

f (x) = sin(3x2)

Þegar keðjureglunni er beitt:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Annað afleiðupróf

Þegar fyrsta afleiða falls er núll í punktinum x 0 .

f '(x0) = 0

Þá getur önnur afleiðan í punktinum x 0 , f''(x 0 ), gefið til kynna gerð þess punkts:

 

f ''(x0) > 0

 staðbundið lágmark

f ''(x0) < 0

 staðbundið hámark

f ''(x0) = 0

 óákveðinn

 

Sjá einnig

Advertising

REIKNINGUR
°• CmtoInchesConvert.com •°