Laplace Transform

Laplace transzformációs függvény
Laplace transzformációs asztal
Laplace transzformáció tulajdonságai
Laplace transzformációs példák

A Laplace-transzformáció egy időtartomány-függvényt s-domain függvénysé alakít át nulláról végtelenbe történő integrációval

az időtartomány függvényének e ^{-st -vel} szorozva .

A Laplace-transzformációt a differenciálegyenletek és integrálok gyors megoldására használják.

Az időtartománybeli deriválást az s-tartományban s-vel való szorzássá alakítjuk.

Az időtartományban történő integráció átalakul s-vel való osztásra az s-tartományban.

Laplace transzformációs függvény

A Laplace transzformációt az L {} operátor határozza meg:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverz Laplace transzformáció

Az inverz Laplace-transzformáció közvetlenül számítható.

Általában az inverz transzformációt a transzformációk táblájából adjuk meg.

Laplace transzformációs asztal

Funkció neve	Időtartomány függvény	Laplace transzformáció
Funkció neve	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Állandó	1	$\frac{1}{s}$
Lineáris	t	$\frac{1}{s^2}$
Erő	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Erő	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Kitevő	e^at	$\frac{1}{sa}$
Szinusz	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Koszinusz	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hiperbolikus szinusz	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hiperbolikus koszinusz	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Növekvő szinusz	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Növekvő koszinusz	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Bomló szinusz	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Bomló koszinusz	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta funkció	δ(t)	1
Késleltetett delta	δ(t-a)	e^-as

Laplace transzformáció tulajdonságai

Ingatlan neve	Időtartomány függvény	Laplace transzformáció	Megjegyzés
	f (t)	F(s)
Linearitás	af ( t )+ bg ( t )	aF ( ek ) + bG ( ek )	a , b állandó
Skálaváltozás	f ( at )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a >0
Váltás	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Késleltetés	f ( ta )	e ^{- mint} F ( ek )
Származtatás	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-edik levezetés	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Erő	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integráció	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(ek)$
Kölcsönös	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolúció	f ( t ) * g ( t )	F ( ek ) ⋅ G ( ek )	* a konvolúció operátora
Periodikus funkció	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Laplace transzformációs példák

1. példa

Keresse meg f(t) transzformációját:

f (t) = 3t + 2t²

Megoldás:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

2. példa

Keresse meg az F(s) inverz transzformációját:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Megoldás:

Az inverz transzformáció megtalálásához az s tartományfüggvényt egyszerűbb formára kell változtatnunk:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Az a és b megtalálásához 2 egyenletet kapunk - az egyik s együtthatót és a másodikat a többiből:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Mostantól az F(s) könnyen átalakítható a transzformációs táblázat használatával a kitevőfüggvényhez:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t