Származékos szabályok

Származékos szabályok és törvények.Függvénytáblázat származékai.

• Származékos definíció
• Származékos szabályok
• Függvénytáblázat származékai
• Származékos példák

Származékos definíció

Egy függvény deriváltja az f(x) függvényérték különbségének aránya az x+Δx és x pontokban Δx-szel, amikor Δx végtelenül kicsi.A derivált a függvény meredeksége vagy meredeksége az érintővonal x pontban.

 

Második származék

A második származékot a következő képlet adja:

Vagy egyszerűen származtassa az első származékot:

N-edik származéka

Az n -edik derivált f(x) n-szeres származtatásával számítható ki.

Az n -edik derivált egyenlő az (n-1) deriváltjával:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

Példa:

Keresse meg a negyedik deriváltját

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]'''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

Derivált a függvény grafikonján

Egy függvény deriváltja a tangenciális egyenes meredeksége.

Származékos szabályok

Származékos összeg szabály	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Származékos termékszabály	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Derivatív hányados szabály
Származékos láncszabály	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Származékos összeg szabály

Amikor a és b állandók.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Példa:

Keresse meg a származékát:

3 x ² + 4 x.

Az összegszabály szerint:

a = 3, b = 4

f ( x )=x2, g ⁽ x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Származékos termékszabály

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Derivatív hányados szabály

Származékos láncszabály

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Ez a szabály jobban megérthető Lagrange jelölésével:

Függvény lineáris közelítése

_{Kis Δx esetén az f(x 0} +Δx) közelítését kaphatjuk, ha ismerjük f(x ₀ ) és f ' (x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

Függvénytáblázat származékai

Funkció neve	Funkció	Derivált
	f (x)	f '( x )
Állandó	const	0
Lineáris	x	1
Erő	x a	a x a-1
Exponenciális	e x	e x
Exponenciális	a x	a x ln a
Természetes logaritmus	ln(x)
Logaritmus	logb(x)
Szinusz	sin x	cos x
Koszinusz	cos x	-sin x
Tangens	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arktangens	arctan x
Hiperbolikus szinusz	sinh x	cosh x
Hiperbolikus koszinusz	cosh x	sinh x
Hiperbolikus érintő	tanh x
Inverz hiperbolikus szinusz	sinh-1 x
Inverz hiperbolikus koszinusz	cosh-1 x
Inverz hiperbolikus érintő	tanh-1 x

Származékos példák

1. példa

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

2. példa

f (x) = sin(3x²)

A láncszabály alkalmazásakor:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

Második derivált teszt

Amikor egy függvény első deriváltja nulla az x ₀ pontban .

f '(x₀) = 0

Ekkor az x ₀ pont második deriváltja , az f''(x ₀ ), jelezheti az adott pont típusát:

 

f ''(x0) > 0	helyi minimum
f ''(x0) < 0	helyi maximum
f ''(x0) = 0	meghatározatlan

 

---

Lásd még

• Számítás
• Laplace transzformáció ( ℒ  )
• Kalkulus szimbólumok