Konvolúció

A konvolúció az f(τ) és a fordított g(t-τ) függvény korrelációs függvénye.

A konvolúciós operátor a csillag szimbólum* .

Az f(t) és g(t) konvolúciója egyenlő az f(τ) integráljával, szorozva f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

2 diszkrét függvény konvolúciója a következőképpen definiálható:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

A képfeldolgozáshoz általában 2 dimenziós diszkrét konvolúciót használnak.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Az x(n) diszkrét bemeneti jelet konvolúcióval szűrhetjük a h(n) impulzusválaszsal, hogy megkapjuk az y(n) kimeneti jelet.

y(n) = x(n) * h(n)

2 függvény szorzatának Fourier-transzformációja megegyezik az egyes függvények Fourier-transzformációinak konvolúciójával:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

2 függvényből álló konvolúció Fourier-transzformációja egyenlő az egyes függvények Fourier-transzformációinak szorzatával:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Lásd még