Laplaceova transformacija

Funkcija Laplaceove transformacije
Tablica Laplaceove transformacije
Svojstva Laplaceove transformacije
Primjeri Laplaceove transformacije

Laplaceova transformacija pretvara funkciju vremenskog područja u funkciju s-domena integracijom od nule do beskonačnosti

funkcije vremenske domene, pomnoženo s e ^-st .

Laplaceova transformacija koristi se za brzo pronalaženje rješenja za diferencijalne jednadžbe i integrale.

Derivacija u vremenskoj domeni transformira se u množenje sa s u s-domeni.

Integracija u vremenskoj domeni transformira se u dijeljenje sa s u s-domeni.

Funkcija Laplaceove transformacije

Laplaceova transformacija definirana je L {} operatorom:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverzna Laplaceova transformacija

Inverzna Laplaceova transformacija može se izračunati izravno.

Obično se inverzna transformacija daje iz tablice transformacija.

Tablica Laplaceove transformacije

Naziv funkcije	Funkcija vremenske domene	Laplaceova transformacija
Naziv funkcije	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Konstantno	1	$\frac{1}{s}$
Linearno	t	$\frac{1}{s^2}$
Vlast	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Vlast	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Eksponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hiperbolički sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hiperbolički kosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Rastući sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Rastući kosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Opadajući sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\lijevo ( s+a \desno )^2+\omega ^2}$
Opadajući kosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\lijevo ( s+a \desno)^2+\omega ^2}$
Delta funkcija	δ(t)	1
Odgođena delta	δ(t-a)	e^-as

Svojstva Laplaceove transformacije

Naziv nekretnine	Funkcija vremenske domene	Laplaceova transformacija	Komentar
	f (t)	F(s)
Linearnost	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b su konstantni
Promjena mjerila	f ( na )	$\frac{1}{a}F\lijevo ( \frac{s}{a} \desno )$	a >0
Shift	e ^-na f ( t )	F ( s + a )
Odgoditi	f ( ta )	e ^{- kao} F ( s )
Derivacija	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ta derivacija	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Vlast	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integracija	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Recipročan	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Konvolucija	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* je operator konvolucije
Periodična funkcija	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Primjeri Laplaceove transformacije

Primjer #1

Pronađite transformaciju f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Riješenje:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Primjer #2

Pronađite inverznu transformaciju F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Riješenje:

Da bismo pronašli inverznu transformaciju, moramo promijeniti funkciju domene s u jednostavniji oblik:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Da bismo pronašli a i b, dobivamo 2 jednadžbe - jednu od s koeficijenata i drugu od ostalih:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Sada se F(s) mogu lako transformirati pomoću tablice transformacija za funkciju eksponenta:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t