Derivacijska pravila

Izvedena pravila i zakoni. Tablica izvoda funkcija.

Derivativna definicija

Derivacija funkcije je omjer razlike vrijednosti funkcije f(x) u točkama x+Δx i x s Δx, kada je Δx infinitezimalno malen. Derivacija je nagib funkcije ili nagib tangente u točki x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Druga derivacija

Drugi izvod je dan sa:

Ili jednostavno izvesti prvi izvod:

f''(x)=(f'(x))'

N-ta derivacija

N - ta derivacija izračunava se deriviranjem f(x) n puta.

N - ta derivacija jednaka je derivaciji (n-1) derivacije:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Primjer:

Pronađite četvrti izvod od

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivacija na grafu funkcije

Derivacija funkcije je nagib tangencijalne linije.

Derivacijska pravila

Pravilo zbroja izvedenica

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Pravilo izvedenog proizvoda

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Pravilo kvocijenta izvoda \lijevo ( \frac{f(x)}{g(x)} \desno )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Pravilo lanca izvedenica

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Pravilo zbroja izvedenica

Kada su a i b konstante.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Primjer:

Pronađite izvod od:

3 x 2 + 4 x.

Prema pravilu sume:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Pravilo izvedenog proizvoda

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Pravilo kvocijenta izvoda

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Pravilo lanca izvedenica

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Ovo se pravilo može bolje razumjeti pomoću Lagrangeove notacije:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Linearna aproksimacija funkcije

Za mali Δx, možemo dobiti aproksimaciju f(x 0 +Δx), kada znamo f(x 0 ) i f' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tablica izvoda funkcija

Naziv funkcije Funkcija Izvedenica

f (x)

 f '( x )
Konstantno

const

0
Linearno

x

1
Vlast

x a

a x a-1
Eksponencijalni

e x

e x
Eksponencijalni

a x

a x ln a
Prirodni logaritam

ln(x)

Logaritam

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Kosinus

cos x

-sin x
Tangens

tan x

Arkusinus

arcsin x

Arkosinus

arccos x

Arktangens

arctan x
Hiperbolički sinus

sinh x

cosh x
Hiperbolički kosinus

cosh x

sinh x
Hiperbolička tangensa

tanh x

Inverzni hiperbolički sinus

sinh-1 x

Inverzni hiperbolički kosinus

cosh-1 x

Inverzni hiperbolični tangens

tanh-1 x

Izvedeni primjeri

Primjer #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Primjer #2

f (x) = sin(3x2)

Kod primjene lančanog pravila:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Test druge derivacije

Kada je prva derivacija funkcije nula u točki x 0 .

f '(x0) = 0

Tada druga derivacija u točki x 0 , f''(x 0 ), može naznačiti tip te točke:

 

f ''(x0) > 0

 lokalni minimum

f ''(x0) < 0

 lokalni maksimum

f ''(x0) = 0

 neodređen

 

Vidi također

Advertising

RAČUN
°• CmtoInchesConvert.com •°