Konvolucija

Konvolucija je korelacijska funkcija f(τ) s obrnutom funkcijom g(t-τ).

Operator konvolucije je simbol zvjezdice * .

Konvolucija f(t) i g(t) jednaka je integralu f(τ) puta f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Konvolucija 2 diskretne funkcije definirana je kao:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Dvodimenzionalna diskretna konvolucija obično se koristi za obradu slike.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Možemo filtrirati diskretni ulazni signal x(n) konvolucijom s impulsnim odzivom h(n) da bismo dobili izlazni signal y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Fourierova transformacija množenja 2 funkcije jednaka je konvoluciji Fourierove transformacije svake funkcije:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Fourierova transformacija konvolucije 2 funkcije jednaka je množenju Fourierovih transformacija svake funkcije:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Vidi također