טרנספורמציה של Laplace ממירה פונקציית תחום זמן לפונקציית s-domain על ידי אינטגרציה מאפס לאינסוף
של פונקציית תחום הזמן, כפול e - st .
טרנספורמציה של Laplace משמשת למציאת פתרונות מהירים למשוואות דיפרנציאליות ואינטגרלים.
גזירה בתחום הזמן הופכת לכפל ב-s בתחום ה-s.
אינטגרציה בתחום הזמן הופכת לחלוקה ב-s בתחום ה-s.
טרנספורמציה של Laplace מוגדרת עם האופרטור L {}:
ניתן לחשב ישירות את התמרת לפלס ההפוכה.
בדרך כלל ההמרה ההפוכה ניתנת מטבלת התמרות.
שם הפונקציה | פונקציית תחום זמן | טרנספורמציה של לפלס |
---|---|---|
f (t) |
F(s) = L{f (t)} |
|
קָבוּעַ | 1 | |
ליניארי | ט | |
כּוֹחַ | t n |
|
כּוֹחַ | t a |
Γ(a+1) ⋅ s -(a+1) |
מַעֲרִיך | e at |
|
סינוס | sin at |
|
קוסינוס | cos at |
|
סינוס היפרבולי |
sinh at |
|
קוסינוס היפרבולי |
cosh at |
|
גדל סינוס |
t sin at |
|
גידול קוסינוס |
t cos at |
|
סינוס מתכלה |
e -at sin ωt |
|
קוסינוס מתכלה |
e -at cos ωt |
|
פונקציית דלתא |
δ(t) |
1 |
דלתא מושהית |
δ(t-a) |
e-as |
שם הנכס | פונקציית תחום זמן | טרנספורמציה של לפלס | תגובה |
---|---|---|---|
f (t) |
F(s) |
||
ליניאריות | af ( t )+ bg ( t ) | aF ( s ) + bG ( s ) | a , b הם קבועים |
שינוי קנה מידה | f ( בשעה ) | a >0 | |
מִשׁמֶרֶת | e -at f ( t ) | F ( s + a ) | |
לְעַכֵּב | f ( טא ) | e - as F ( s ) | |
גִזרָה | sF ( s ) - f (0) | ||
גזירה נ' | s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0)-...- f ( n -1) (0) | ||
כּוֹחַ | t n f ( t ) | ||
שילוב | |||
הֲדָדִי | |||
קונבולציה | f ( t ) * g ( t ) | F ( s ) ⋅ G ( s ) | * הוא אופרטור הקונבולציה |
פונקציה תקופתית | f ( t ) = f ( t + T ) |
מצא את ההמרה של f(t):
f (t) = 3t + 2t2
פִּתָרוֹן:
ℒ{t} = 1/s2
ℒ{t2} = 2/s3
F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3
מצא את הטרנספורמציה ההפוכה של F(s):
F(s) = 3 / (s2 + s - 6)
פִּתָרוֹן:
על מנת למצוא את הטרנספורמציה ההפוכה, עלינו לשנות את פונקציית התחום s לצורה פשוטה יותר:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)
[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]
a(s+3) + b(s-2) = 3
כדי למצוא את a ו-b, נקבל 2 משוואות - אחד ממקדמי s והשני מהשאר:
(a+b)s + 3a-2b = 3
a+b = 0 , 3a-2b = 3
a = 3/5 , b = -3/5
F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)
כעת ניתן לשנות F(s) בקלות על ידי שימוש בטבלת ההמרה עבור פונקציית המעריך:
f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t
Advertising