Laplace Transform

טרנספורמציה של Laplace ממירה פונקציית תחום זמן לפונקציית s-domain על ידי אינטגרציה מאפס לאינסוף

 של פונקציית תחום הזמן, כפול e - st .

טרנספורמציה של Laplace משמשת למציאת פתרונות מהירים למשוואות דיפרנציאליות ואינטגרלים.

גזירה בתחום הזמן הופכת לכפל ב-s בתחום ה-s.

אינטגרציה בתחום הזמן הופכת לחלוקה ב-s בתחום ה-s.

פונקציית טרנספורמציה של לפלס

טרנספורמציה של Laplace מוגדרת עם האופרטור L {}:

F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt

טרנספורמציה הפוכה של לפלס

ניתן לחשב ישירות את התמרת לפלס ההפוכה.

בדרך כלל ההמרה ההפוכה ניתנת מטבלת התמרות.

שולחן טרנספורמציה של Laplace

שם הפונקציה פונקציית תחום זמן טרנספורמציה של לפלס

f (t)

F(s) = L{f (t)}

קָבוּעַ 1 \frac{1}{s}
ליניארי ט \frac{1}{s^2}
כּוֹחַ

t n

\frac{n!}{s^{n+1}}

כּוֹחַ

t a

Γ(a+1) ⋅ s -(a+1)

מַעֲרִיך

e at

\frac{1}{sa}

סינוס

sin at

\frac{a}{s^2+a^2}

קוסינוס

cos at

\frac{s}{s^2+a^2}

סינוס היפרבולי

sinh at

\frac{a}{s^2-a^2}

קוסינוס היפרבולי

cosh at

\frac{s}{s^2-a^2}

גדל סינוס

t sin at

\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}

גידול קוסינוס

t cos at

\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}

סינוס מתכלה

e -at sin ωt

\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}

קוסינוס מתכלה

e -at cos ωt

\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}

פונקציית דלתא

δ(t)

1

דלתא מושהית

δ(t-a)

e-as

תכונות טרנספורמציה של לפלס

שם הנכס פונקציית תחום זמן טרנספורמציה של לפלס תגובה
 

f (t)

F(s)

 
ליניאריות af ( t )+ bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b הם קבועים
שינוי קנה מידה f ( בשעה ) \frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right ) a >0
מִשׁמֶרֶת e -at f ( t ) F ( s + a )  
לְעַכֵּב f ( טא ) e - as F ( s )  
גִזרָה \frac{df(t)}{dt} sF ( s ) - f (0)  
גזירה נ' \frac{d^nf(t)}{dt^n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0)-...- f ( n -1) (0)  
כּוֹחַ t n f ( t ) (-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}  
שילוב \int_{0}^{t}f(x)dx \frac{1}{s}F(s)  
הֲדָדִי \frac{1}{t}f(t) \int_{s}^{\infty }F(x)dx  
קונבולציה f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * הוא אופרטור הקונבולציה
פונקציה תקופתית f ( t ) = f ( t + T ) \frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx  

דוגמאות לטרנספורמציה של לפלס

דוגמה מס' 1

מצא את ההמרה של f(t):

f (t) = 3t + 2t2

פִּתָרוֹן:

ℒ{t} = 1/s2

ℒ{t2} = 2/s3

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3

 

דוגמה מס' 2

מצא את הטרנספורמציה ההפוכה של F(s):

F(s) = 3 / (s2 + s - 6)

פִּתָרוֹן:

על מנת למצוא את הטרנספורמציה ההפוכה, עלינו לשנות את פונקציית התחום s לצורה פשוטה יותר:

F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

כדי למצוא את a ו-b, נקבל 2 משוואות - אחד ממקדמי s והשני מהשאר:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

כעת ניתן לשנות F(s) בקלות על ידי שימוש בטבלת ההמרה עבור פונקציית המעריך:

f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t

 


ראה גם

Advertising

חֶשְׁבּוֹן
°• CmtoInchesConvert.com •°