כללים נגזרות

כללים וחוקים נגזרים. טבלת נגזרות של פונקציות.

• הגדרה נגזרת
• כללים נגזרות
• טבלת נגזרות של פונקציות
• דוגמאות נגזרות

הגדרה נגזרת

הנגזרת של פונקציה היא היחס בין ההפרש של ערך הפונקציה f(x) בנקודות x+Δx ו-x עם Δx, כאשר Δx קטן לאין שיעור. הנגזרת היא שיפוע הפונקציה או שיפוע הישר המשיק בנקודה x.

 

נגזרת שניה

הנגזרת השנייה ניתנת על ידי:

או פשוט גזר את הנגזרת הראשונה:

נגזרת N'

הנגזרת ה- n מחושבת על ידי גזירת f(x) n פעמים.

הנגזרת ה- n שווה לנגזרת של הנגזרת (n-1):

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

דוגמא:

מצא את הנגזרת הרביעית של

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

נגזרת על גרף הפונקציה

הנגזרת של פונקציה היא השיפוע של הישר המשיק.

כללים נגזרות

כלל סכום נגזרת	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
כלל מוצר נגזר	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
כלל מנה נגזרת
כלל שרשרת נגזרת	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

כלל סכום נגזרת

כאשר a ו- b הם קבועים.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

דוגמא:

מצא את הנגזרת של:

3 x ² + 4 x.

לפי כלל הסכום:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

כלל מוצר נגזר

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

כלל מנה נגזרת

כלל שרשרת נגזרת

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

ניתן להבין את הכלל הזה טוב יותר עם הסימון של לגראנז':

פונקציה קירוב ליניארי

עבור Δx קטן, נוכל לקבל קירוב ל-f(x ₀ +Δx), כאשר אנו יודעים את f(x ₀ ) ו-f ' (x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

טבלת נגזרות של פונקציות

שם הפונקציה	פוּנקצִיָה	נגזר
	f (x)	f '( x )
קָבוּעַ	const	0
ליניארי	x	1
כּוֹחַ	x a	a x a-1
אקספוננציאלי	e x	e x
אקספוננציאלי	a x	a x ln a
לוגריתם טבעי	ln(x)
לוֹגָרִיתְם	logb(x)
סינוס	sin x	cos x
קוסינוס	cos x	-sin x
מַשִׁיק	tan x
ארסין	arcsin x
ארקוסין	arccos x
ארקטנג'נט	arctan x
סינוס היפרבולי	sinh x	cosh x
קוסינוס היפרבולי	cosh x	sinh x
משיק היפרבולי	tanh x
סינוס היפרבולי הפוך	sinh-1 x
קוסינוס היפרבולי הפוך	cosh-1 x
משיק היפרבולי הפוך	tanh-1 x

דוגמאות נגזרות

דוגמה מס' 1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

דוגמה מס' 2

f (x) = sin(3x²)

בעת יישום כלל השרשרת:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

מבחן נגזרת שני

כאשר הנגזרת הראשונה של פונקציה היא אפס בנקודה x ₀ .

f '(x₀) = 0

אז הנגזרת השנייה בנקודה x ₀ , f''(x ₀ ), יכולה לציין את הסוג של אותה נקודה:

 

f ''(x0) > 0	מינימום מקומי
f ''(x0) < 0	מקסימום מקומי
f ''(x0) = 0	לא נקבע

 

---

ראה גם

• חֶשְׁבּוֹן
• טרנספורמציה של לפלס ( ℒ  )
• סמלי חשבון