લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શન
લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ટેબલ
લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ પ્રોપર્ટીઝ
લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ઉદાહરણો

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ શૂન્યથી અનંતમાં એકીકરણ દ્વારા ટાઈમ ડોમેન ફંક્શનને એસ-ડોમેન ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરે છે

સમય ડોમેન કાર્ય, e ^-st દ્વારા ગુણાકાર .

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ વિભેદક સમીકરણો અને પૂર્ણાંકો માટે ઝડપથી ઉકેલો શોધવા માટે થાય છે.

સમય ડોમેનમાં વ્યુત્પત્તિ s-ડોમેનમાં s દ્વારા ગુણાકારમાં પરિવર્તિત થાય છે.

સમય ડોમેનમાં એકીકરણ s-ડોમેનમાં s દ્વારા વિભાજનમાં પરિવર્તિત થાય છે.

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શન

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ L {} ઓપરેટર સાથે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

ઇન્વર્સ લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ

વ્યસ્ત લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મની સીધી ગણતરી કરી શકાય છે.

સામાન્ય રીતે ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ ટ્રાન્સફોર્મ ટેબલમાંથી આપવામાં આવે છે.

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ટેબલ

કાર્યનું નામ	સમય ડોમેન કાર્ય	લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ
કાર્યનું નામ	f (t)	F(s) = L{f (t)}
સતત	1	$\frac{1}{s}$
રેખીય	t	$\frac{1}{s^2}$
શક્તિ	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
શક્તિ	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
ઘાત	e^at	$\frac{1}{sa}$
સાઈન	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
કોસાઇન	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
હાયપરબોલિક સાઈન	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
હાઇપરબોલિક કોસાઇન	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
વધતી જતી સાઈન	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
વધતી કોસાઇન	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
ક્ષીણ થતા સાઈન	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ક્ષીણ થતા કોસાઇન	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ડેલ્ટા કાર્ય	δ(t)	1
વિલંબિત ડેલ્ટા	δ(t-a)	e^-as

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ પ્રોપર્ટીઝ

મિલકત નામ	સમય ડોમેન કાર્ય	લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ	ટિપ્પણી
	f (t)	F(s)
રેખીયતા	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b સ્થિર છે
સ્કેલ ફેરફાર	f ( ખાતે )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \જમણે )$	a >0
શિફ્ટ	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
વિલંબ	f ( ta )	e ^-F ( s ) ^{તરીકે}
વ્યુત્પત્તિ	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-th વ્યુત્પત્તિ	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
શક્તિ	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
એકીકરણ	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(ઓ)$
પારસ્પરિક	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
કન્વોલ્યુશન	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* કન્વોલ્યુશન ઓપરેટર છે
સામયિક કાર્ય	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ #1

f(t) નું રૂપાંતર શોધો:

f (t) = 3t + 2t²

ઉકેલ:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

ઉદાહરણ #2

F(s) નું વ્યસ્ત રૂપાંતરણ શોધો:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

ઉકેલ:

ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ શોધવા માટે, આપણે s ડોમેન ફંક્શનને સરળ સ્વરૂપમાં બદલવાની જરૂર છે:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a અને b શોધવા માટે, આપણને 2 સમીકરણો મળે છે - એક s ગુણાંક અને બીજું બાકીનું:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

હવે ઘાતાંક કાર્ય માટે રૂપાંતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને F(ઓ) સરળતાથી રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t