વ્યુત્પન્ન નિયમો

વ્યુત્પન્ન નિયમો અને કાયદા. ફંક્શન ટેબલના ડેરિવેટિવ્ઝ.

• વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યા
• વ્યુત્પન્ન નિયમો
• ફંક્શન ટેબલના ડેરિવેટિવ્ઝ
• વ્યુત્પન્ન ઉદાહરણો

વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યા

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ Δx સાથે x+Δx અને x બિંદુઓ પર ફંક્શન મૂલ્ય f(x) ના તફાવતનો ગુણોત્તર છે, જ્યારે Δx અનંત રીતે નાનો હોય છે. વ્યુત્પન્ન એ બિંદુ x પર સ્પર્શરેખાનો ફંક્શન સ્લોપ અથવા ઢોળાવ છે.

 

બીજું વ્યુત્પન્ન

બીજું વ્યુત્પન્ન આના દ્વારા આપવામાં આવે છે:

અથવા ફક્ત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન મેળવો:

Nth વ્યુત્પન્ન

n મી વ્યુત્પન્નની ગણતરી f(x) n વખત મેળવીને કરવામાં આવે છે.

n મી વ્યુત્પન્ન એ (n-1) વ્યુત્પન્નના વ્યુત્પન્ન સમાન છે :

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

ઉદાહરણ:

નું ચોથું વ્યુત્પન્ન શોધો

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]'''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

કાર્યના ગ્રાફ પર વ્યુત્પન્ન

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ સ્પર્શરેખાનો ઢોળાવ છે.

વ્યુત્પન્ન નિયમો

વ્યુત્પન્ન રકમનો નિયમ	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
વ્યુત્પન્ન ઉત્પાદન નિયમ	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
વ્યુત્પન્ન ભાગાંક નિયમ
વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમ	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

વ્યુત્પન્ન રકમનો નિયમ

જ્યારે a અને b સ્થિરાંકો છે.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

ઉદાહરણ:

આના વ્યુત્પન્ન શોધો:

3 x ² + 4 x.

સરવાળો નિયમ અનુસાર:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

વ્યુત્પન્ન ઉત્પાદન નિયમ

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

વ્યુત્પન્ન ભાગાંક નિયમ

વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમ

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

આ નિયમ લેગ્રેન્જના સંકેત સાથે વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે:

કાર્ય રેખીય અંદાજ

_{નાના Δx માટે, આપણે f(x 0} +Δx) નો અંદાજ મેળવી શકીએ છીએ, જ્યારે આપણે f(x ₀ ) અને f ' (x ₀ ) જાણીએ છીએ :

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

ફંક્શન ટેબલના ડેરિવેટિવ્ઝ

કાર્યનું નામ	કાર્ય	વ્યુત્પન્ન
	f (x)	f '( x )
સતત	const	0
રેખીય	x	1
શક્તિ	x a	a x a-1
ઘાતાંકીય	e x	e x
ઘાતાંકીય	a x	a x ln a
કુદરતી લઘુગણક	ln(x)
લઘુગણક	logb(x)
સાઈન	sin x	cos x
કોસાઇન	cos x	-sin x
સ્પર્શક	tan x
આર્ક્સીન	arcsin x
આર્કોસિન	arccos x
આર્કટેંજન્ટ	arctan x
હાયપરબોલિક સાઈન	sinh x	cosh x
હાઇપરબોલિક કોસાઇન	cosh x	sinh x
હાયપરબોલિક સ્પર્શક	tanh x
વ્યસ્ત હાયપરબોલિક સાઈન	sinh-1 x
વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક કોસાઇન	cosh-1 x
વ્યસ્ત અતિપરવલય સ્પર્શક	tanh-1 x

વ્યુત્પન્ન ઉદાહરણો

ઉદાહરણ #1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

ઉદાહરણ #2

f (x) = sin(3x²)

સાંકળ નિયમ લાગુ કરતી વખતે:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

બીજી વ્યુત્પન્ન કસોટી

જ્યારે ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન બિંદુ x ₀ પર શૂન્ય હોય છે .

f '(x₀) = 0

પછી બિંદુ x ₀ , f''(x ₀ ) પરનું બીજું વ્યુત્પન્ન , તે બિંદુનો પ્રકાર સૂચવી શકે છે:

 

f ''(x0) > 0	સ્થાનિક લઘુત્તમ
f ''(x0) < 0	સ્થાનિક મહત્તમ
f ''(x0) = 0	અનિશ્ચિત

 

---

આ પણ જુઓ

• કેલ્ક્યુલસ
• લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ( ℒ  )
• કેલ્ક્યુલસ પ્રતીકો