Laplace-muunnos muuntaa aikatason funktion s-alueen funktioksi integroimalla nollasta äärettömään
aikatason funktiosta kerrottuna e -st .
Laplace-muunnoksen avulla löydetään nopeasti ratkaisuja differentiaaliyhtälöille ja integraaleille.
Derivaatio aika-alueella muunnetaan kertomalla s:llä s-alueella.
Aika-alueen integrointi muunnetaan jakamiseksi s-alueella s-alueella.
Laplace-muunnos määritellään L {} -operaattorilla:
Käänteinen Laplace-muunnos voidaan laskea suoraan.
Yleensä käänteismuunnos annetaan muunnostaulukosta.
Toiminnon nimi | Aikaalueen toiminto | Laplace-muunnos |
---|---|---|
f (t) |
F(s) = L{f (t)} |
|
Jatkuva | 1 | |
Lineaarinen | t | |
Tehoa | t n |
|
Tehoa | t a |
Γ(a+1) ⋅ s -(a+1) |
Eksponentti | e at |
|
Sini | sin at |
|
Kosini | cos at |
|
Hyperbolinen sini |
sinh at |
|
Hyperbolinen kosini |
cosh at |
|
Kasvava sini |
t sin at |
|
Kasvava kosini |
t cos at |
|
Hajoava sini |
e -at sin ωt |
|
Hajoava kosini |
e -at cos ωt |
|
Delta-toiminto |
δ(t) |
1 |
Viivästynyt delta |
δ(t-a) |
e-as |
Kiinteistön nimi | Aikaalueen toiminto | Laplace-muunnos | Kommentti |
---|---|---|---|
f (t) |
F(s) |
||
Lineaarisuus | af ( t )+ bg ( t ) | aF ( t ) + bG ( t ) | a , b ovat vakioita |
Mittakaavamuutos | f ( at ) | a > 0 | |
Siirtää | e -at f ( t ) | F ( s + a ) | |
Viive | f ( ta ) | e - kuten F ( s ) | |
Johtaminen | sF ( s ) - f (0) | ||
N:s johdannainen | s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -... - f ( n -1) (0) | ||
Tehoa | t n f ( t ) | ||
Liittäminen | |||
Vastavuoroinen | |||
Convolution | f ( t ) * g ( t ) | F ( t ) ⋅ G ( t ) | * on konvoluutiooperaattori |
Jaksottainen toiminto | f ( t ) = f ( t + T ) |
Etsi f(t:n) muunnos:
f (t) = 3t + 2t2
Ratkaisu:
ℒ{t} = 1/s2
ℒ{t2} = 2/s3
F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3
Etsi F(s) käänteismuunnos:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6)
Ratkaisu:
Käänteisen muunnoksen löytämiseksi meidän on muutettava s-toimialuefunktio yksinkertaisempaan muotoon:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)
[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]
a(s+3) + b(s-2) = 3
Löytääksemme a ja b, saamme 2 yhtälöä - yksi s-kertoimista ja toinen muista:
(a+b)s + 3a-2b = 3
a+b = 0 , 3a-2b = 3
a = 3/5 , b = -3/5
F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)
Nyt F(s) voidaan muuntaa helposti käyttämällä eksponenttifunktion muunnostaulukkoa:
f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t
Advertising