Convolution

Konvoluutio on f(τ):n korrelaatiofunktio käänteisen funktion g(t-τ) kanssa.

Konvoluutiooperaattori on tähtimerkki * .

F(t):n ja g(t):n konvoluutio on yhtä suuri kuin f(τ):n integraali kertaa f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Kahden erillisen funktion konvoluutio määritellään seuraavasti:

$f(n)*g(n)=\summa_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

2-ulotteista diskreettiä konvoluutiota käytetään yleensä kuvankäsittelyyn.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Voimme suodattaa diskreetin tulosignaalin x(n) konvoluutiolla impulssivasteen h(n) kanssa, jolloin saadaan lähtösignaali y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Kahden funktion kertolasku Fourier-muunnos on yhtä suuri kuin kunkin funktion Fourier-muunnosten konvoluutio:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on yhtä suuri kuin kunkin funktion Fourier-muunnosten kertolasku:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Katso myös