Johdannaiset säännöt

Johdannaiset säännöt ja lait. Funktiotaulukon johdannaiset.

Johdannainen määritelmä

Funktion derivaatta on funktion arvon f(x) erotuksen suhde pisteissä x+Δx ja x Δx:n kanssa, kun Δx on äärettömän pieni. Derivaata on funktion jyrkkyys tai tangenttiviivan kaltevuus pisteessä x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Toinen johdannainen

Toinen derivaatta saadaan seuraavasti:

Tai johda yksinkertaisesti ensimmäinen johdannainen:

f''(x)=(f'(x))'

N:s johdannainen

N :s derivaatta lasketaan derivoimalla f(x) n kertaa .

N :s derivaatta on yhtä suuri kuin (n-1) derivaatan derivaatta :

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Esimerkki:

Etsi neljäs derivaatta

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]'''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivaata funktion kuvaajasta

Funktion derivaatta on tangentiaalisen suoran kulmakerroin.

Johdannaiset säännöt

Johdannaissummasääntö

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Johdannaistuotteen sääntö

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Johdannaisosamääräsääntö \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Johdannainen ketjusääntö

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Johdannaissummasääntö

Kun a ja b ovat vakioita.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Esimerkki:

Etsi johdannainen:

3 x 2 + 4 x.

Summasäännön mukaan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Johdannaistuotteen sääntö

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Johdannaisosamääräsääntö

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Johdannainen ketjusääntö

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Tämä sääntö voidaan ymmärtää paremmin Lagrangen merkinnällä:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funktio lineaarinen approksimaatio

Pienelle Δx:lle voimme saada likiarvon f(x 0 +Δx), kun tiedämme f(x 0 ) ja f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Funktiotaulukon johdannaiset

Toiminnon nimi Toiminto Johdannainen

f (x)

 f '( x )
Jatkuva

const

0
Lineaarinen

x

1
Tehoa

x a

a x a-1
Eksponentiaalinen

e x

e x
Eksponentiaalinen

a x

a x ln a
Luonnollinen logaritmi

ln(x)

Logaritmi

logb(x)

Sini

sin x

cos x
Kosini

cos x

-sin x
Tangentti

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arktangentti

arctan x
Hyperbolinen sini

sinh x

cosh x
Hyperbolinen kosini

cosh x

sinh x
Hyperbolinen tangentti

tanh x

Käänteinen hyperbolinen sini

sinh-1 x

Käänteinen hyperbolinen kosini

cosh-1 x

Käänteinen hyperbolinen tangentti

tanh-1 x

Johdannaisia ​​esimerkkejä

Esimerkki #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Esimerkki #2

f (x) = sin(3x2)

Kun käytät ketjusääntöä:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Toinen johdannaistesti

Kun funktion ensimmäinen derivaatta on nolla pisteessä x 0 .

f '(x0) = 0

Sitten toinen derivaatta pisteessä x 0 , f''(x 0 ), voi osoittaa kyseisen pisteen tyypin:

 

f ''(x0) > 0

 paikallinen minimi

f ''(x0) < 0

 paikallinen maksimi

f ''(x0) = 0

 määrittelemätön

 

Katso myös

Advertising

KALKKI
°• CmtoInchesConvert.com •°